Uma corda vibrando que tem uma densidade de massa linear uniforme exibe um padrão de onda estacionária com uma única volta com uma frequência de 800 Hz . (a) Se a tensão na corda for alterada para reduzir a frequência fundamental a 500 Hz , determine a razão entre a tensão nova e a antiga.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma corda que está vibrando e formando uma onda estacionária com uma única volta, ou seja, a frequência fundamental dessa corda é 800 Hz. O que queremos descobrir é: se a gente diminuir essa frequência para 500 Hz alterando a tensão na corda, qual será a razão entre a nova tensão e a tensão original. Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas em cordas, especificamente a relação entre frequência, tensão e densidade linear de massa.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula que relaciona a frequência fundamental $ f $ de uma corda com a sua tensão $ T $, a densidade linear de massa $ \mu $ (massa por unidade de comprimento) e o comprimento da corda $ L $. A fórmula é:
f
Essa equação nos diz que a frequência é diretamente proporcional à raiz quadrada da tensão e inversamente proporcional ao comprimento da corda.

Passo 3

Como o comprimento da corda $ L $ e a densidade linear de massa $ \mu $ permanecem constantes quando alteramos a tensão, podemos focar apenas na relação entre a frequência e a tensão. Vamos chamar a tensão original de $ T_1 $ (com frequência $ f_1 = 800 $ Hz) e a nova tensão de $ T_2 $ (com frequência $ f_2 = 500 $ Hz).

Passo 4

Podemos estabelecer a relação das frequências em termos das tensões usando a fórmula mencionada:
f2f1 = raizT2T1
Queremos encontrar a razão $ \frac{T_2}{T_1} $, então vamos isolar essa relação:
T2T1

Passo 5

Substituindo os valores das frequências:
( 500, Hz800, Hz )^2 = T2T1
Calculando a fração:
( 58 )^2 = T2T1
2564 = T2T1

Resposta

A razão entre a nova tensão e a tensão original é $ \frac{T_2}{T_1} = \frac{25}{64} $.

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