Uma corda ideal muito extensa possui densidade de
e está tensionada por uma certa força
. Nela se propaga um pulso descrito aproximadamente pela expressão
a) De que tipo de onda se trata?
b) Descreva o movimento de uma partícula da corda localizada em
em função do tempo. Em que instante sua amplitude de movimento será máxima?
c) Qual a tensão
na corda? Que distância o pulso percorre em 20 s?
d) Obtenha a expressão para a potência transmitida na corda em função da posição e do tempo.
e) Se um vibrador harmônico fosse conectado à extremidade dessa mesma corda e posto a operar gerando 30 pulsos por segundo, qual seria a potência média transmitida? Considere a amplitude de oscilação igual à máxima do caso anterior.
b) Descreva o movimento de uma partícula da corda localizada em
c) Qual a tensão
d) Obtenha a expressão para a potência transmitida na corda em função da posição e do tempo.
e) Se um vibrador harmônico fosse conectado à extremidade dessa mesma corda e posto a operar gerando 30 pulsos por segundo, qual seria a potência média transmitida? Considere a amplitude de oscilação igual à máxima do caso anterior.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (retirados do enunciado):
- A corda tem densidade linear de massa
. - A função que descreve o pulso é
- A corda é muito extensa e está tensionada por uma força
(desconhecida).
O enunciado pede:
a) Identificar o tipo de onda.
b) Descrever o movimento de uma partícula da corda em como função do tempo e dizer em que instante sua amplitude será máxima.
c) Determinar a tensão na corda e calcular que distância o pulso percorre em
.
d) Obter a expressão para a potência transmitida na corda em função de e
.
e) Supondo que um vibrador harmônico na extremidade gere pulsos por segundo (ou seja frequência
) e amplitude igual à máxima do caso do pulso, calcular a potência média transmitida.
a) Identificar o tipo de onda.
b) Descrever o movimento de uma partícula da corda em
c) Determinar a tensão
d) Obter a expressão para a potência transmitida na corda em função de
e) Supondo que um vibrador harmônico na extremidade gere
Observações úteis imediatamente extraíveis do enunciado (não resolvo nada ainda):
- A densidade linear de massa convertida para SI é
. - A expressão do pulso tem a forma
; o termo indica que o pulso se desloca com velocidade numérica (veremos isso em detalhe nos próximos passos). - A amplitude máxima aparente no numerador é
quando o denominador for (mas vamos analisar corretamente onde é máxima).
Passo 2
Identificar o tipo de onda e extrair a velocidade do pulso — explicando a ideia por trás disso.
A função dada tem a forma
com
e com o argumento
. Quando uma função depende apenas da combinação
(ou de
) significa que todo o perfil
com
se desloca rigidamente sem mudar de forma com velocidade
. Isso é a caracterização de uma onda/transporte do perfil.
- Identificando termos: aqui
. Logo o pulso é uma perturbação localizada (um “bache” ou “pacote”) que se desloca rigidamente para a direita com velocidade
Também é útil afirmar o tipo de deslocamento:
é a deflexão transverse (deslocamento perpendicular à direção
), logo trata-se de uma onda/transporte transversal (pulso transversal) que não é harmônico (não é uma senoide simples), mas um pulso localizado.
Passo 3
Movimento da partícula fixa em
. Vou montar a função
, explicar como ela varia e achar o instante de amplitude máxima.
Substituindo
na expressão do pulso:
Definindo
(é a posição relativa do centro do pulso ao ponto fixo
), temos
Análise do movimento:
- Essa função é sempre positiva e varia com
. Quando (pulso muito longe), : a partícula fica praticamente em repouso na posição de equilíbrio. Quando (o centro do pulso passa exatamente pelo ponto ), o denominador atinge o mínimo , então atinge o máximo possível para essa forma.
Encontrar instante de máxima amplitude: resolver
:
Amplitude máxima correspondente:
Comentário físico simples: a partícula em
fica praticamente em
antes da chegada do pulso, sobe até
no instante
quando o centro do pulso passa por ela, e depois volta a
à medida que o pulso segue adiante. O movimento não é harmônico (não é senoidal), é uma única elevação e retorno associados à passagem do pulso.
Passo 4
Determinar a tensão
usando a relação entre velocidade de propagação, tensão e massa linear; também calcular a distância percorrida em
.
Teoria necessária (explicada passo a passo):
- Para pequenas transversais em uma corda homogênea e com tensão constante
, a velocidade de propagação de pequenas perturbações é dada por
onde:
-
é a velocidade do pulso (m/s), -
é a tensão na corda (N), -
é a densidade linear de massa da corda (kg/m).
Essa fórmula vem da análise das equações de onda para uma corda tensa (balanço de forças e segunda lei de Newton linearizadas), mas aqui uso-a diretamente porque é o resultado padrão.
Isolando
:
Substituindo valores (usar unidades SI):
logo
Distância percorrida pelo pulso em
: pulso com velocidade uniforme
percorre
Passo 5
Obter a expressão para a potência transmitida na corda em função de
e
. Vou explicar o conceito físico e derivar a fórmula passo a passo.
Conceito físico e fórmula geral:
- A potência instantânea transmitida através de uma seção da corda (fluxo de energia para a direita) é dada pelo produto da força transversal na seção pela velocidade transversal dessa seção. Para pequenas inclinações a componente transversal da tensão é aproximadamente
(o sinal depende da orientação), e a velocidade transversal é . Assim, a potência instantânea (fluxo de energia para a direita) é
O sinal indica direção do fluxo; o módulo nos dá a taxa de energia sendo transmitida.
Aplicação ao pulso dado:
- Para compactar a notação, defina
. A função é
Calcule primeiro
:
Agora usar
e
. Como
,
Portanto
Multiplicando:
Inserindo no sinal da potência:
Simplificando o fator numérico:
Substituindo
e, se desejar, o valor calculado de
, podemos dar a forma numérica:
-
. Então o fator . - Com
temos .
Logo uma forma conveniente é
ou, substituindo valores numéricos,
onde
está em metros e
em segundos. Observe que
com esta escolha de sinal (o pulso transporta energia para a direita).
Passo 6
Potência média transmitida por um vibrador harmônico com frequência
e amplitude igual à máxima do pulso (usar
). Vou explicar a fórmula que usarei e mostrá-la passo a passo.
Modelo do vibrador harmônico e potência média:
- Para uma onda harmônica progressiva para a direita do tipo
a potência instantânea é (pela mesma fórmula geral)
. Calculando derivadas:
Multiplicando e usando a fórmula da potência:
A potência média temporal (sobre um período) usa
, então
Agora usar relações entre
:
Substituindo:
Esta é uma fórmula padrão: potência média transportada por uma onda senoidal numa corda.
Aplicar aos dados:
-
(amplitude igual à máxima do pulso), -
, -
, -
.
Calcule
:
Portanto
Calcule o fator numérico:
logo
Valor numérico aproximado usando
:
Comentário final: essa potência média é alta porque se escolheu uma amplitude grande
e frequência alta
; a potência média cresce com
e com
.
Resposta
a) Pulso transversal localizado (pulso não harmônico) que se desloca para a direita com velocidade
.
b) . A partícula fica em
antes/depois da passagem do pulso, atinge amplitude máxima
no instante
.
c) . Distância em
:
.
d) Potência instantânea
b)
c)
d) Potência instantânea
ou, numericamente com
,
e) Potência média para onda harmônica de
e
: