Uma corda ideal muito extensa possui densidade de 200 \mathrm{~g} / \mathrm{m} e está tensionada por uma certa força F. Nela se propaga um pulso descrito aproximadamente pela expressão
y(x, t)=\frac{0,2}{(x-6,0 t)^{2}+1} \mathrm{~m}
a) De que tipo de onda se trata?
b) Descreva o movimento de uma partícula da corda localizada em x=6,0 \mathrm{~m} em função do tempo. Em que instante sua amplitude de movimento será máxima?
c) Qual a tensão F na corda? Que distância o pulso percorre em 20 s?
d) Obtenha a expressão para a potência transmitida na corda em função da posição e do tempo.
e) Se um vibrador harmônico fosse conectado à extremidade dessa mesma corda e posto a operar gerando 30 pulsos por segundo, qual seria a potência média transmitida? Considere a amplitude de oscilação igual à máxima do caso anterior.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (retirados do enunciado):
  • A corda tem densidade linear de massa \,200\\ \mathrm{g/m}\,.
  • A função que descreve o pulso é
y(x,t)=\frac{0,2}{(x-6,0\,t)^{2}+1}\\ \mathrm{m}.
  • A corda é muito extensa e está tensionada por uma força F (desconhecida).
O enunciado pede:
a) Identificar o tipo de onda.
b) Descrever o movimento de uma partícula da corda em x=6,0\\ \mathrm{m} como função do tempo e dizer em que instante sua amplitude será máxima.
c) Determinar a tensão F na corda e calcular que distância o pulso percorre em 20\\ \mathrm{s}.
d) Obter a expressão para a potência transmitida na corda em função de x e t.
e) Supondo que um vibrador harmônico na extremidade gere 30 pulsos por segundo (ou seja frequência 30\\ \mathrm{Hz}) e amplitude igual à máxima do caso do pulso, calcular a potência média transmitida.
Observações úteis imediatamente extraíveis do enunciado (não resolvo nada ainda):
  • A densidade linear de massa convertida para SI é \mu=200\\ \mathrm{g/m}=0,2\\ \mathrm{kg/m}.
  • A expressão do pulso tem a forma y(x,t)=A/[(x-vt)^{2}+1]; o termo x-6,0\,t indica que o pulso se desloca com velocidade numérica 6,0\\ \mathrm{m/s} (veremos isso em detalhe nos próximos passos).
  • A amplitude máxima aparente no numerador é 0,2\\ \mathrm{m} quando o denominador for 1 (mas vamos analisar corretamente onde é máxima).

Passo 2

Identificar o tipo de onda e extrair a velocidade do pulso — explicando a ideia por trás disso.
A função dada tem a forma
y(x,t)=\frac{A}{(x-vt)^{2}+1},
com A=0,2 e com o argumento x-6,0\,t. Quando uma função depende apenas da combinação (x-vt) (ou de (x+vt)) significa que todo o perfil f(\xi) com \xi=x-vt se desloca rigidamente sem mudar de forma com velocidade v. Isso é a caracterização de uma onda/transporte do perfil.
  • Identificando termos: aqui \xi=x-6,0\,t. Logo o pulso é uma perturbação localizada (um “bache” ou “pacote”) que se desloca rigidamente para a direita com velocidade
v=6,0\\ \mathrm{m/s}.
Também é útil afirmar o tipo de deslocamento: y é a deflexão transverse (deslocamento perpendicular à direção x), logo trata-se de uma onda/transporte transversal (pulso transversal) que não é harmônico (não é uma senoide simples), mas um pulso localizado.

Passo 3

Movimento da partícula fixa em x=6,0\\ \mathrm{m}. Vou montar a função y(6,0,t), explicar como ela varia e achar o instante de amplitude máxima.
Substituindo x=6,0 na expressão do pulso:
y(6,0,t)=\frac{0,2}{(6,0-6,0\,t)^{2}+1}.
Definindo \xi(t)=6,0-6,0\,t (é a posição relativa do centro do pulso ao ponto fixo x=6,0), temos
y(6,0,t)=\frac{0,2}{\xi(t)^{2}+1}.
Análise do movimento:
  • Essa função é sempre positiva e varia com t. Quando |\xi(t)|\to\infty (pulso muito longe), y\to 0: a partícula fica praticamente em repouso na posição de equilíbrio. Quando \xi(t)=0 (o centro do pulso passa exatamente pelo ponto x=6,0), o denominador atinge o mínimo 1, então y atinge o máximo possível para essa forma.
Encontrar instante de máxima amplitude: resolver \xi(t)=0:
6,0-6,0\,t=0 \quad\Rightarrow\quad t=1,0\\ \mathrm{s}.
Amplitude máxima correspondente:
y_{\max}=y(6,0,1,0)=\frac{0,2}{0^{2}+1}=0,2\\ \mathrm{m}.
Comentário físico simples: a partícula em x=6,0\\ \mathrm{m} fica praticamente em y\approx 0 antes da chegada do pulso, sobe até 0,2\\ \mathrm{m} no instante t=1,0\\ \mathrm{s} quando o centro do pulso passa por ela, e depois volta a 0 à medida que o pulso segue adiante. O movimento não é harmônico (não é senoidal), é uma única elevação e retorno associados à passagem do pulso.

Passo 4

Determinar a tensão F usando a relação entre velocidade de propagação, tensão e massa linear; também calcular a distância percorrida em 20\\ \mathrm{s}.
Teoria necessária (explicada passo a passo):
  • Para pequenas transversais em uma corda homogênea e com tensão constante F, a velocidade de propagação de pequenas perturbações é dada por
v=\sqrt{\frac{F}{\mu}},
onde:
  • v é a velocidade do pulso (m/s),
  • F é a tensão na corda (N),
  • \mu é a densidade linear de massa da corda (kg/m).
Essa fórmula vem da análise das equações de onda para uma corda tensa (balanço de forças e segunda lei de Newton linearizadas), mas aqui uso-a diretamente porque é o resultado padrão.
Isolando F:
F=\mu v^{2}.
Substituindo valores (usar unidades SI):
\mu=0,2\\ \mathrm{kg/m},\qquad v=6,0\\ \mathrm{m/s},
logo
F=0,2\cdot(6,0)^{2}=0,2\cdot 36=7,2\\ \mathrm{N}.
Distância percorrida pelo pulso em 20\\ \mathrm{s}: pulso com velocidade uniforme v percorre
d=v\,t=6,0\cdot 20=120\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Obter a expressão para a potência transmitida na corda em função de x e t. Vou explicar o conceito físico e derivar a fórmula passo a passo.
Conceito físico e fórmula geral:
  • A potência instantânea transmitida através de uma seção da corda (fluxo de energia para a direita) é dada pelo produto da força transversal na seção pela velocidade transversal dessa seção. Para pequenas inclinações a componente transversal da tensão é aproximadamente -F\,\partial y/\partial x (o sinal depende da orientação), e a velocidade transversal é \partial y/\partial t. Assim, a potência instantânea (fluxo de energia para a direita) é
P(x,t) = -F\,\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t}.
O sinal indica direção do fluxo; o módulo nos dá a taxa de energia sendo transmitida.
Aplicação ao pulso dado:
  • Para compactar a notação, defina \xi=x-6,0\,t. A função é
y(x,t)=\frac{A}{\xi^{2}+1},\qquad A=0,2.
Calcule primeiro \dfrac{\partial y}{\partial \xi}:
\frac{d}{d\xi}\left(\frac{A}{\xi^{2}+1}\right)=A\cdot\frac{-2\xi}{(\xi^{2}+1)^{2}}=-\frac{2A\xi}{(\xi^{2}+1)^{2}}.
Agora usar \partial y/\partial x = (\partial y/\partial\xi)(\partial\xi/\partial x) e \partial y/\partial t = (\partial y/\partial\xi)(\partial\xi/\partial t). Como \xi=x-6,0\,t,
\frac{\partial\xi}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial\xi}{\partial t}=-6,0.
Portanto
\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{2A\xi}{(\xi^{2}+1)^{2}}, \qquad \frac{\partial y}{\partial t}=-6,0\left(-\frac{2A\xi}{(\xi^{2}+1)^{2}}\right)=6,0\,\frac{2A\xi}{(\xi^{2}+1)^{2}}.
Multiplicando:
\frac{\partial y}{\partial x}\,\frac{\partial y}{\partial t} = \left(-\frac{2A\xi}{(\xi^{2}+1)^{2}}\right)\left(6,0\cdot\frac{2A\xi}{(\xi^{2}+1)^{2}}\right) = -6,0\cdot\frac{4A^{2}\xi^{2}}{(\xi^{2}+1)^{4}}.
Inserindo no sinal da potência:
P(x,t)=-F\left(\frac{\partial y}{\partial x}\frac{\partial y}{\partial t}\right) =-F\left(-6,0\cdot\frac{4A^{2}\xi^{2}}{(\xi^{2}+1)^{4}}\right) =6,0\,F\cdot\frac{4A^{2}\xi^{2}}{(\xi^{2}+1)^{4}}.
Simplificando o fator numérico:
P(x,t)=24\,F\,\frac{A^{2}\,\xi^{2}}{(\xi^{2}+1)^{4}},\qquad \xi=x-6,0\,t.
Substituindo A=0,2 e, se desejar, o valor calculado de F=7,2\\ \mathrm{N}, podemos dar a forma numérica:
  • A^{2}=(0,2)^{2}=0,04. Então o fator 24A^{2}=24\cdot 0,04=0,96.
  • Com F=7,2 temos 24F A^{2}=0,96\cdot 7,2=6,912.
Logo uma forma conveniente é
P(x,t)=24\,F\,\frac{(x-6,0\,t)^{2}}{\bigl((x-6,0\,t)^{2}+1\bigr)^{4}}
ou, substituindo valores numéricos,
P(x,t)=6,912\\ \frac{(x-6,0\,t)^{2}}{\bigl((x-6,0\,t)^{2}+1\bigr)^{4}}\\ \mathrm{W},
onde x está em metros e t em segundos. Observe que P(x,t)\ge 0 com esta escolha de sinal (o pulso transporta energia para a direita).

Passo 6

Potência média transmitida por um vibrador harmônico com frequência 30\\ \mathrm{Hz} e amplitude igual à máxima do pulso (usar a=0,2\\ \mathrm{m}). Vou explicar a fórmula que usarei e mostrá-la passo a passo.
Modelo do vibrador harmônico e potência média:
  • Para uma onda harmônica progressiva para a direita do tipo
y(x,t)=a\sin(kx-\omega t),
a potência instantânea é (pela mesma fórmula geral) P(x,t)=-F\,(\partial y/\partial x)(\partial y/\partial t). Calculando derivadas:
\frac{\partial y}{\partial x}=k a\cos(kx-\omega t), \qquad \frac{\partial y}{\partial t}=-\omega a\cos(kx-\omega t).
Multiplicando e usando a fórmula da potência:
P(x,t)=-F\,(k a\cos)(-\omega a\cos)=F k \omega a^{2}\cos^{2}(kx-\omega t).
A potência média temporal (sobre um período) usa \langle\cos^{2}\rangle=1/2, então
\langle P\rangle=\frac{1}{2}F k \omega a^{2}.
Agora usar relações entre F,\mu,v,k,\omega:
k=\frac{\omega}{v},\qquad F=\mu v^{2}.
Substituindo:
\langle P\rangle=\frac{1}{2}(\mu v^{2})\left(\frac{\omega}{v}\right)\omega a^{2} =\frac{1}{2}\mu v \omega^{2} a^{2}.
Esta é uma fórmula padrão: potência média transportada por uma onda senoidal numa corda.
Aplicar aos dados:
  • a=0,2\\ \mathrm{m} (amplitude igual à máxima do pulso),
  • f=30\\ \mathrm{Hz}\Rightarrow \omega=2\pi f=60\pi\\ \mathrm{rad/s},
  • \mu=0,2\\ \mathrm{kg/m},
  • v=6,0\\ \mathrm{m/s}.
Calcule \omega^{2}a^{2}:
\omega^{2}=(60\pi)^{2}=3600\pi^{2},\qquad a^{2}=0,04,
\omega^{2}a^{2}=3600\pi^{2}\cdot 0,04=144\pi^{2}.
Portanto
\langle P\rangle=\frac{1}{2}\mu v \omega^{2} a^{2} =\frac{1}{2}\cdot 0,2\cdot 6,0\cdot 144\pi^{2}.
Calcule o fator numérico:
\frac{1}{2}\cdot 0,2\cdot 6,0=0,6, \qquad 0,6\cdot 144=86,4,
logo
\langle P\rangle=86,4\,\pi^{2}\\ \mathrm{W}.
Valor numérico aproximado usando \pi^{2}\approx 9,8696:
\langle P\rangle\approx 86,4\cdot 9,8696\approx 852,7\\ \mathrm{W}.
Comentário final: essa potência média é alta porque se escolheu uma amplitude grande 0,2\\ \mathrm{m} e frequência alta 30\\ \mathrm{Hz}; a potência média cresce com \omega^{2} e com a^{2}.

Resposta

a) Pulso transversal localizado (pulso não harmônico) que se desloca para a direita com velocidade v=6,0\\ \mathrm{m/s}.
b) y(6,0,t)=\dfrac{0,2}{(6,0-6,0\,t)^{2}+1}. A partícula fica em y\approx0 antes/depois da passagem do pulso, atinge amplitude máxima y_{\max}=0,2\\ \mathrm{m} no instante t=1,0\\ \mathrm{s}.
c) F=\mu v^{2}=0,2\cdot(6,0)^{2}=7,2\\ \mathrm{N}. Distância em 20\\ \mathrm{s}: d=v t=6,0\cdot 20=120\\ \mathrm{m}.
d) Potência instantânea
P(x,t)=24\,F\,\frac{(x-6,0\,t)^{2}}{\bigl((x-6,0\,t)^{2}+1\bigr)^{4}},
ou, numericamente com F=7,2\\ \mathrm{N},
P(x,t)=6,912\\ \frac{(x-6,0\,t)^{2}}{\bigl((x-6,0\,t)^{2}+1\bigr)^{4}}\\ \mathrm{W}.
e) Potência média para onda harmônica de f=30\\ \mathrm{Hz} e a=0,2\\ \mathrm{m}:
\langle P\rangle=\tfrac{1}{2}\mu v \omega^{2} a^{2}=86,4\,\pi^{2}\\ \mathrm{W}\approx 852,7\\ \mathrm{W}.

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