Um próton é projetado para o interior de um campo elétrico uniforme que aponta verticalmente para cima e possui módulo E. A velocidade inicial do próton possui modulo vo e sua direção forma um ângulo
abaixo da horizontal.
a) Calcule a distância máxima
, que o próton desce verticalmente abaixo de sua altura inicial. Despreze as forças gravitacionais.
b) Depois de qual distância horizontal d o próton retorna à sua altura inicial?
c) Faça um esboço da trajetória do próton.
d) Calcule os valores numéricos de
e d se
e
.
a) Calcule a distância máxima
b) Depois de qual distância horizontal d o próton retorna à sua altura inicial?
c) Faça um esboço da trajetória do próton.
d) Calcule os valores numéricos de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Campo elétrico uniforme apontando verticalmente para cima com módulo
. - Partícula: próton (carga positiva
). - Velocidade inicial de módulo
e direção formando um ângulo abaixo da horizontal. - Desprezar gravidade.
- Campo elétrico uniforme apontando verticalmente para cima com módulo
-
O que o enunciado pede:
a) A distância máximaque o próton desce verticalmente abaixo da altura inicial.
b) A distância horizontalapós a qual o próton retorna à sua altura inicial.
c) Um esboço (descrição) da trajetória do próton.
d) Calcular numericamentee para , e .
Passo 2
Escolher convenções e equações básicas (aqui começa a parte didática).
- Convenção de sinais:
- Eixo vertical
positivo para cima. - Origem
na altura inicial do próton. - Campo elétrico
aponta para cima. Como o próton tem carga , a força elétrica é para cima.
- Eixo vertical
- Força e aceleração:
- Força elétrica:
(aponta para cima). - Aceleração resultante (constante):
. Como é para cima, a componente vertical da aceleração é . - Aqui
é a carga do próton, sua massa. Vou usar e quando calcular numericamente.
- Força elétrica:
- Componentes da velocidade inicial:
- A velocidade inicial forma ângulo
abaixo da horizontal, então suas componentes (tomando horizontal para frente e vertical para cima) são Observe que é negativa porque aponta para baixo.
- A velocidade inicial forma ângulo
- Equações cinemáticas (movimento unidimensional com aceleração constante):
- Velocidade vertical em função do tempo:
- Deslocamento vertical:
- Deslocamento horizontal (já que não há aceleração horizontal):
- Velocidade vertical em função do tempo:
Explicação curta das fórmulas: a fórmula de
vem de integrar a aceleração constante uma vez para obter
e novamente para obter
. As variáveis significam:
velocidade vertical inicial,
aceleração vertical (aqui positiva),
tempo,
posição vertical relativa à origem.
Passo 3
Calcular
(parte a), isto é, o máximo deslocamento vertical para baixo antes de começar a subir.
-
O ponto de maior descida ocorre quando a velocidade vertical zera:
.
Usandoe isolando : Como, temos -
Substituir
em para obter o deslocamento vertical no instante de inversão: Substituindoe : Simplificando: -
O enunciado pede a distância máxima que o próton “desce” abaixo da altura inicial; isso é o módulo desse
: Substituindoobtemos a forma final simbólica:
Comentário pedagógico: essa expressão é análoga à fórmula de máximo afastamento em movimento com aceleração constante (como um “lançamento” vertical), só que aqui a aceleração é proporcionada pelo campo elétrico e o sinal foi tratado com cuidado ao escolher o eixo
.
Passo 4
Calcular a distância horizontal
(parte b): quando o próton retorna à altura inicial,
com
(excluindo
).
-
Resolver
. Fatorando : A solução não-trivial éComsegue -
A distância horizontal percorrida até esse instante é
. Então Usando a identidade trigonométrica, obtemos
Breve intuição: horizontalmente a velocidade é constante, por isso basta multiplicar
pelo tempo total que o próton leva para voltar à mesma altura.
Passo 5
Esboço e descrição da trajetória (parte c) — explicação didática e visualização.
- Como a aceleração vertical é constante (para cima) e a velocidade horizontal é constante, a trajetória
é uma parábola (movimento com quadrático em e linear em , implicando quadrático em ). - Com a velocidade inicial apontando para baixo, o próton:
- Sai do ponto inicial com velocidade inclinada para baixo;
- Desce até um ponto de profundidade
(ponto de inversão vertical, onde ); - Depois sobe, cruzando novamente a altura inicial após percorrer a distância horizontal
.
- Em palavras leves: é como um “arco” invertido de um projétil sob gravidade, mas aqui a aceleração está para cima — portanto a curva tem o formato de uma parábola que desce inicialmente e depois sobe, simétrica em torno do eixo vertical que passa pelo ponto de mínimo (no sistema de tempo).
Passo 6
Cálculo numérico (parte d). Usar constantes do próton e os dados dados.
-
Constantes usadas:
-
Dados numéricos:
-
Primeiro calcular a aceleração
: -
Calcular
: Come (logo ): -
Calcular
: Com:
Observação de arredondamento: os valores foram arredondados mantendo três algarismos significativos coerentes com os dados.
Resposta
a)
b)
c) Trajetória parabólica: o próton sai da altura inicial, desce até
(ponto de inversão vertical) e depois sobe, cruzando a altura inicial novamente após percorrer horizontalmente
.
d) Números:
e
.