Um próton é projetado para o interior de um campo elétrico uniforme que aponta verticalmente para cima e possui módulo E. A velocidade inicial do próton possui modulo vo e sua direção forma um ângulo \alpha abaixo da horizontal.
a) Calcule a distância máxima \mathrm{h}_{\text {máx }}á, que o próton desce verticalmente abaixo de sua altura inicial. Despreze as forças gravitacionais.
b) Depois de qual distância horizontal d o próton retorna à sua altura inicial?
c) Faça um esboço da trajetória do próton.
d) Calcule os valores numéricos de \mathrm{h}_{\text {máx }}á e d se \mathrm{E}=500 \mathrm{~N} / \mathrm{C}, \mathrm{v}_{0}=4,00 \times 10^{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s} e \alpha=30,0^{\circ}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Campo elétrico uniforme apontando verticalmente para cima com módulo E.
    • Partícula: próton (carga positiva q=+e).
    • Velocidade inicial de módulo v_0 e direção formando um ângulo \alpha abaixo da horizontal.
    • Desprezar gravidade.
  • O que o enunciado pede:
    a) A distância máxima \mathrm{h}_{\text{máx}}á que o próton desce verticalmente abaixo da altura inicial.
    b) A distância horizontal d após a qual o próton retorna à sua altura inicial.
    c) Um esboço (descrição) da trajetória do próton.
    d) Calcular numericamente \mathrm{h}_{\text{máx}}á e d para E=500\\ \mathrm{N/C}, v_0=4{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{m/s} e \alpha=30{,}0^\circ.

Passo 2

Escolher convenções e equações básicas (aqui começa a parte didática).
  • Convenção de sinais:
    • Eixo vertical y positivo para cima.
    • Origem y=0 na altura inicial do próton.
    • Campo elétrico \vec{E} aponta para cima. Como o próton tem carga q=+e, a força elétrica é para cima.
  • Força e aceleração:
    • Força elétrica: \vec{F}=q\vec{E} (aponta para cima).
    • Aceleração resultante (constante): \vec{a}=\dfrac{\vec{F}}{m}=\dfrac{q\vec{E}}{m}. Como \vec{E} é para cima, a componente vertical da aceleração é a=+\dfrac{qE}{m}.
    • Aqui q é a carga do próton, m sua massa. Vou usar q=+e e m=m_p quando calcular numericamente.
  • Componentes da velocidade inicial:
    • A velocidade inicial forma ângulo \alpha abaixo da horizontal, então suas componentes (tomando x horizontal para frente e y vertical para cima) são v_{x0}=v_0\cos\alpha,\qquad v_{y0}=-v_0\sin\alpha.Observe que v_{y0} é negativa porque aponta para baixo.
  • Equações cinemáticas (movimento unidimensional com aceleração constante):
    • Velocidade vertical em função do tempo: v_y(t)=v_{y0}+a\,t.
    • Deslocamento vertical: y(t)=v_{y0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2}.
    • Deslocamento horizontal (já que não há aceleração horizontal): x(t)=v_{x0}t.
Explicação curta das fórmulas: a fórmula de y(t) vem de integrar a aceleração constante uma vez para obter v_y(t) e novamente para obter y(t). As variáveis significam: v_{y0} velocidade vertical inicial, a aceleração vertical (aqui positiva), t tempo, y(t) posição vertical relativa à origem.

Passo 3

Calcular \mathrm{h}_{\text{máx}}á (parte a), isto é, o máximo deslocamento vertical para baixo antes de começar a subir.
  • O ponto de maior descida ocorre quando a velocidade vertical zera: v_y(t_1)=0.
    Usando v_y(t)=v_{y0}+a t e isolando t_1:
    0=v_{y0}+a t_1\quad\Rightarrow\quad t_1=-\dfrac{v_{y0}}{a}.
    Como v_{y0}=-v_0\sin\alpha, temos
    t_1=\dfrac{v_0\sin\alpha}{a}.
  • Substituir t_1 em y(t) para obter o deslocamento vertical no instante de inversão:
    y(t_1)=v_{y0}t_1+\tfrac{1}{2}a t_1^{2}.
    Substituindo v_{y0}=-v_0\sin\alpha e t_1=\dfrac{v_0\sin\alpha}{a}:
    y(t_1)=-v_0\sin\alpha\cdot\frac{v_0\sin\alpha}{a}+\tfrac{1}{2}a\left(\frac{v_0\sin\alpha}{a}\right)^{2}.
    Simplificando:
    y(t_1)=-\frac{v_0^{2}\sin^{2}\alpha}{a}+\frac{1}{2}\frac{v_0^{2}\sin^{2}\alpha}{a}=-\frac{1}{2}\frac{v_0^{2}\sin^{2}\alpha}{a}.
  • O enunciado pede a distância máxima que o próton “desce” abaixo da altura inicial; isso é o módulo desse y(t_1):
    \mathrm{h}_{\text{máx}}=-y(t_1)=\frac{1}{2}\frac{v_0^{2}\sin^{2}\alpha}{a}.á
    Substituindo a=\dfrac{qE}{m} obtemos a forma final simbólica:
    \boxed{\displaystyle \mathrm{h}_{\text{máx}}=\frac{m v_0^{2}\sin^{2}\alpha}{2 q E}.}á
Comentário pedagógico: essa expressão é análoga à fórmula de máximo afastamento em movimento com aceleração constante (como um “lançamento” vertical), só que aqui a aceleração é proporcionada pelo campo elétrico e o sinal foi tratado com cuidado ao escolher o eixo y.

Passo 4

Calcular a distância horizontal d (parte b): quando o próton retorna à altura inicial, y(t_2)=0 com t_2>0 (excluindo t=0).
  • Resolver y(t)=v_{y0}t+\tfrac{1}{2}a t^{2}=0. Fatorando t:
    t\bigl(v_{y0}+\tfrac{1}{2}a t\bigr)=0.
    A solução não-trivial é
    v_{y0}+\tfrac{1}{2}a t_2=0\quad\Rightarrow\quad t_2=-\frac{2v_{y0}}{a}.
    Com v_{y0}=-v_0\sin\alpha segue
    t_2=\frac{2v_0\sin\alpha}{a}.
  • A distância horizontal percorrida até esse instante é d=x(t_2)=v_{x0}t_2. Então
    d=v_0\cos\alpha\cdot\frac{2v_0\sin\alpha}{a}=\frac{2v_0^{2}\sin\alpha\cos\alpha}{a}.
    Usando a identidade trigonométrica \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha, obtemos
    \boxed{\displaystyle d=\frac{v_0^{2}\sin2\alpha}{a}=\frac{m v_0^{2}\sin2\alpha}{q E}.}
Breve intuição: horizontalmente a velocidade é constante, por isso basta multiplicar v_{x0} pelo tempo total que o próton leva para voltar à mesma altura.

Passo 5

Esboço e descrição da trajetória (parte c) — explicação didática e visualização.
  • Como a aceleração vertical é constante (para cima) e a velocidade horizontal é constante, a trajetória y(x) é uma parábola (movimento com y quadrático em t e x linear em t, implicando y quadrático em x).
  • Com a velocidade inicial apontando para baixo, o próton:
    1. Sai do ponto inicial com velocidade inclinada para baixo;
    2. Desce até um ponto de profundidade \mathrm{h}_{\text{máx}}á (ponto de inversão vertical, onde v_y=0);
    3. Depois sobe, cruzando novamente a altura inicial após percorrer a distância horizontal d.
  • Em palavras leves: é como um “arco” invertido de um projétil sob gravidade, mas aqui a aceleração está para cima — portanto a curva tem o formato de uma parábola que desce inicialmente e depois sobe, simétrica em torno do eixo vertical que passa pelo ponto de mínimo (no sistema de tempo).

Passo 6

Cálculo numérico (parte d). Usar constantes do próton e os dados dados.
  • Constantes usadas:
    q=e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},\qquad m=m_p=1{,}67262192369\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}.
  • Dados numéricos:
    E=500\\ \mathrm{N/C},\qquad v_0=4{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{m/s},\qquad \alpha=30{,}0^\circ.
  • Primeiro calcular a aceleração a:
    a=\frac{qE}{m}=\frac{(1{,}602176634\times10^{-19})(500)}{1{,}67262192369\times10^{-27}} \approx 4{,}792\times10^{10}\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Calcular \mathrm{h}_{\text{máx}}á:
    \mathrm{h}_{\text{máx}}=\frac{1}{2}\frac{v_0^{2}\sin^{2}\alpha}{a}.á
    Com v_0^{2}=(4{,}00\times10^{5})^{2}=1{,}60\times10^{11} e \sin30^\circ=0{,}5 (logo \sin^{2}30^\circ=0{,}25):
    \mathrm{h}_{\text{máx}}=\frac{1}{2}\frac{(1{,}60\times10^{11})(0{,}25)}{4{,}792\times10^{10}} =\frac{2{,}00\times10^{10}}{4{,}792\times10^{10}}\approx 0{,}418\\ \mathrm{m}.á
  • Calcular d:
    d=\frac{v_0^{2}\sin2\alpha}{a}.
    Com \sin2\alpha=\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660254:
    d=\frac{(1{,}60\times10^{11})(0{,}8660254)}{4{,}792\times10^{10}} \approx 2{,}89\\ \mathrm{m}.
Observação de arredondamento: os valores foram arredondados mantendo três algarismos significativos coerentes com os dados.

Resposta

a) \displaystyle \mathrm{h}_{\text{máx}}=\frac{m v_0^{2}\sin^{2}\alpha}{2 q E}\approx 0{,}418\\ \mathrm{m}á
b) \displaystyle d=\frac{m v_0^{2}\sin2\alpha}{q E}\approx 2{,}89\\ \mathrm{m}
c) Trajetória parabólica: o próton sai da altura inicial, desce até \mathrm{h}_{\text{máx}}á (ponto de inversão vertical) e depois sobe, cruzando a altura inicial novamente após percorrer horizontalmente d.
d) Números: \mathrm{h}_{\text{máx}}\approx 0{,}418\\ \mathrm{m}á e d\approx 2{,}89\\ \mathrm{m}.

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