4* - Este exercício (e o próximo) corresponde a um sistema particular para obtenção da equação de estado do ideal. São
moléculas dentro de uma caixa cúbica de aresta
, com
movendo-se paralelamente aos eixos
,
e
(também paralelos às arestas). Todas têm velocidades de mesmo módulo
. Além disso, em qualquer instante, existe o mesmo número de moléculas movendo-se num sentido e em sentido contrário. Calcule a pressão em cada parede e obtenha a equação de estado.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou enumerar claramente o que está pedido e os dados):
- Há
moléculas numa caixa cúbica de aresta . - A caixa tem volume
. - Cada molécula tem massa
e todas têm o mesmo módulo de velocidade . - A cada instante, exatamente
das moléculas move-se paralelo ao eixo , paralelo ao e paralelo ao . - Para cada direção (por exemplo
e ) existe o mesmo número de moléculas movendo-se em sentidos opostos; portanto o número de moléculas com velocidade na direção é (metade de ).
O enunciado pede: - Calcular a pressão em cada parede (por exemplo, na parede perpendicular ao eixo
). - Obter a equação de estado (uma relação tipo
).
Passo 2
Ideia geral e conceitos que vamos usar (passo-a-passo didático):
- Pressão é força por unidade de área. A força sobre uma parede vem da taxa de variação de momento (momento linear) transferido pelas colisões das moléculas com a parede.
- Em cada colisão perfeitamente elástica com a parede, a componente da velocidade perpendicular à parede (aqui
) muda de sinal: de para (para uma molécula que incide com ). A variação de momento da molécula é a quantidade que a parede recebe. - Precisamos calcular:
- impulso dado à parede por cada colisão;
- número de colisões por unidade de tempo na parede;
- produto (impulso × número de colisões por tempo) = força, e dividir por área para obter pressão.
Vou definir as variáveis usadas:
-
: massa de cada molécula; -
: módulo da velocidade de cada molécula (para as que se movem ao longo de um eixo, a componente correspondente vale ); -
: aresta do cubo; -
: área de cada parede; -
: volume da caixa; -
: número total de moléculas.
Passo 3
Cálculo do impulso por colisão (mudança de momento):
- Considere uma molécula que se aproxima da parede perpendicular ao eixo
com componente . - O momento inicial (componente
) da molécula é . - Após colisão elástica com a parede a componente
passa a . - A variação de momento da molécula é
- A parede, por conservação do momento, recebe impulso de magnitude
. Portanto o impulso transferido à parede por uma colisão é
(Resumo: cada colisão com a parede dá à parede um impulso
.)
Passo 4
Cálculo da taxa de colisões na parede (número de colisões por unidade de tempo):
- Número de moléculas movendo-se com
é (metade de ). - Supondo que essas moléculas estão uniformemente distribu no volume, em um intervalo de tempo
só aquelas que estiverem a uma distância ≤ da parede e movendo-se para ela irão colidir nesse intervalo. - A densidade dessas moléculas (com
) é . - O número dessas moléculas em um volume em forma de “prisma” de base
e altura (região que atinge a parede em ) é
- Logo, o número de colisões por unidade de tempo (taxa de colisões) na parede é
- Substituindo
e obtemos
Observação pedagógica: esse passo evita confusões com “tempo entre dois impactos do mesmo molécula na mesma parede” e usa contagem direta das moléculas que atingem a parede em
, que é o método mais robusto para obter a taxa de impactos sobre uma face.
Passo 5
Cálculo da força e da pressão:
- A força média sobre a parede é a taxa de colisões multiplicada pelo impulso por colisão:
- A pressão é a força por unidade de área
:
- Como
, fica mais elegante escrever
Passo 6
Obter a equação de estado e relação com energia cinética:
- A energia cinética total do gás é
- Multiplicando a expressão de
por obtemos
- Escrevendo
em termos de :
- Essa é a forma usual que relaciona pressão, volume e energia cinética do gás (e, ao identificar
, recupera-se a lei dos gases ideais e a relação ).