4* - Este exercício (e o próximo) corresponde a um sistema particular para obtenção da equação de estado do ideal. São N moléculas dentro de uma caixa cúbica de aresta l, com 1 / 3 movendo-se paralelamente aos eixos x, y e z (também paralelos às arestas). Todas têm velocidades de mesmo módulo v. Além disso, em qualquer instante, existe o mesmo número de moléculas movendo-se num sentido e em sentido contrário. Calcule a pressão em cada parede e obtenha a equação de estado.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou enumerar claramente o que está pedido e os dados):
  • N moléculas numa caixa cúbica de aresta l.
  • A caixa tem volume \;V=l^{3}.
  • Cada molécula tem massa m e todas têm o mesmo módulo de velocidade \;v.
  • A cada instante, exatamente 1/3 das moléculas move-se paralelo ao eixo x, 1/3 paralelo ao y e 1/3 paralelo ao z.
  • Para cada direção (por exemplo +x e -x) existe o mesmo número de moléculas movendo-se em sentidos opostos; portanto o número de moléculas com velocidade na direção +x é \dfrac{N}{6} (metade de N/3).
    O enunciado pede:
  • Calcular a pressão em cada parede (por exemplo, na parede perpendicular ao eixo x).
  • Obter a equação de estado (uma relação tipo P V = \dots).

Passo 2

Ideia geral e conceitos que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Pressão é força por unidade de área. A força sobre uma parede vem da taxa de variação de momento (momento linear) transferido pelas colisões das moléculas com a parede.
  • Em cada colisão perfeitamente elástica com a parede, a componente da velocidade perpendicular à parede (aqui v_x) muda de sinal: de +v para -v (para uma molécula que incide com v_x=+v). A variação de momento da molécula é a quantidade que a parede recebe.
  • Precisamos calcular:
    1. impulso dado à parede por cada colisão;
    2. número de colisões por unidade de tempo na parede;
    3. produto (impulso × número de colisões por tempo) = força, e dividir por área para obter pressão.
      Vou definir as variáveis usadas:
  • m: massa de cada molécula;
  • v: módulo da velocidade de cada molécula (para as que se movem ao longo de um eixo, a componente correspondente vale \pm v);
  • l: aresta do cubo;
  • A=l^{2}: área de cada parede;
  • V=l^{3}: volume da caixa;
  • N: número total de moléculas.

Passo 3

Cálculo do impulso por colisão (mudança de momento):
  • Considere uma molécula que se aproxima da parede perpendicular ao eixo x com componente v_x=+v.
  • O momento inicial (componente x) da molécula é p_{i}=m v.
  • Após colisão elástica com a parede a componente x passa a p_{f}=-m v.
  • A variação de momento da molécula é
\Delta p_{\text{mol}}=p_{f}-p_{i}=-m v - m v = -2 m v.
  • A parede, por conservação do momento, recebe impulso de magnitude 2 m v. Portanto o impulso transferido à parede por uma colisão é
\Delta p_{\text{parede}}=2 m v.
(Resumo: cada colisão com a parede dá à parede um impulso 2 m v.)

Passo 4

Cálculo da taxa de colisões na parede (número de colisões por unidade de tempo):
  • Número de moléculas movendo-se com v_x=+v é \dfrac{N}{6} (metade de N/3).
  • Supondo que essas moléculas estão uniformemente distribu no volume, em um intervalo de tempo \mathrm{d}t só aquelas que estiverem a uma distância ≤ v\,\mathrm{d}t da parede e movendo-se para ela irão colidir nesse intervalo.
  • A densidade dessas moléculas (com +x) é \dfrac{N/6}{V}.
  • O número dessas moléculas em um volume em forma de “prisma” de base A e altura v\,\mathrm{d}t (região que atinge a parede em \mathrm{d}t) é
\frac{N/6}{V}\times A \times v\,\mathrm{d}t.
  • Logo, o número de colisões por unidade de tempo (taxa de colisões) na parede é
\text{taxa} = \frac{N/6}{V}\,A\,v = \frac{N}{6}\cdot\frac{A v}{V}.
  • Substituindo A=l^{2} e V=l^{3} obtemos
\text{taxa} = \frac{N}{6}\cdot\frac{l^{2} v}{l^{3}} = \frac{N v}{6 l}.
Observação pedagógica: esse passo evita confusões com “tempo entre dois impactos do mesmo molécula na mesma parede” e usa contagem direta das moléculas que atingem a parede em \mathrm{d}t, que é o método mais robusto para obter a taxa de impactos sobre uma face.

Passo 5

Cálculo da força e da pressão:
  • A força média sobre a parede é a taxa de colisões multiplicada pelo impulso por colisão:
F = \text{taxa}\times \Delta p_{\text{parede}} = \frac{N v}{6 l}\times 2 m v = \frac{N m v^{2}}{3 l}.
  • A pressão é a força por unidade de área A=l^{2}:
P = \frac{F}{A} = \frac{N m v^{2}}{3 l}\cdot\frac{1}{l^{2}} = \frac{N m v^{2}}{3 l^{3}}.
  • Como V=l^{3}, fica mais elegante escrever
\boxed{\,P = \frac{N m v^{2}}{3 V}\,}.

Passo 6

Obter a equação de estado e relação com energia cinética:
  • A energia cinética total do gás é
E_{\text{cin}} = N\cdot\frac{1}{2} m v^{2}.
  • Multiplicando a expressão de P por V obtemos
P V = \frac{N m v^{2}}{3}.
  • Escrevendo E_{\text{cin}} em termos de P V:
P V = \frac{2}{3}\,E_{\text{cin}}.
  • Essa é a forma usual que relaciona pressão, volume e energia cinética do gás (e, ao identificar E_{\text{cin}}=\tfrac{3}{2}N k_{B}T, recupera-se a lei dos gases ideais P V = N k_{B} T e a relação \tfrac{1}{2}m v^{2}=\tfrac{3}{2}k_{B}T).

Resposta

P=\dfrac{N m v^{2}}{3 V}
P V=\dfrac{N m v^{2}}{3}=\dfrac{2}{3}\,E_{\text{cin}}

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