Questão 4 (3,0 pontos) A densidade de corrente entre as extremidades de um condutor cilíndrico de comprimento L e raio R varia em intensidade de acordo com a equação: J=J_{0}\left(r^{2} / R^{2}\right), onde r é a distância a partir do eixo central.
a) (1,0) Mostre que a corrente, em termos de J_{0} e do raio do condutor, é dada por I=\left(J_{0} \pi R^{2}\right) / 2.
b) (0,5) Para a densidade de corrente dada por J_{0}= 12 \times 10^{4} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2} e o raio do condutor igual R=8 \mathrm{~mm}, calcule a corrente (I) que percorre o condutor.
c) (0,5) Considere o comprimento do fio (condutor) igual a L=4 m, o raio igual R=8 m m e a resistência elétrica do condutor igual a 4,7 \Omega. Calcule a resistividade elétrica do condutor, \rho_{R}.
d) (0,5) Calcule a diferença de potencial no condutor.
e) (0,5) Calcule a potência dissipada nesse condutor.
Passo 1
O enunciado dá a densidade de corrente no interior do condutor cilíndrico como
J(r)=J_{0}\,\frac{r^{2}}{R^{2}},
onde r é a distância ao eixo, R é o raio do condutor e J_{0} é uma constante (intensidade de densidade na borda multiplicada por fator). O condutor tem comprimento L (usado nas partes posteriores) e resistência elétrica dada em (c).
As perguntas são:
a) Mostrar que a corrente total atravessando a seção transversal é \displaystyle I=\frac{J_{0}\,\pi R^{2}}{2}.
b) Calcular I para J_{0}=12\times10^{4}\\ \mathrm{A/m^{2}} e R=8\\ \mathrm{mm}.
c) Com L=4\\ \mathrm{m}, R=8\\ \mathrm{mm} e resistência elétrica R_{\text{el}}=4,7\\ \Omega, calcular a resistividade elétrica \rho_{R}.
d) Calcular a diferença de potencial (tensão) no condutor.
e) Calcular a potência dissipada no condutor.
Dados relevantes que usaremos: elemento de área em coordenadas polares na seção circular é dA=r\,dr\,d\theta; relação entre resistência, resistividade, comprimento e área é \displaystyle R_{\text{el}}=\frac{\rho\,L}{A}; potência dissipada pode ser calculada por P=I^{2}R_{\text{el}}=VI.
Passo 2
(Resolução da letra a — dedução da expressão de I.)
Explicação do conceito usado: a corrente total que atravessa a seção transversal é a integral da densidade de corrente sobre a área da seção. Isso significa somar (integrar) J em cada pedacinho de área dA:
I=\iint_{A} J(r)\,dA.
Como a seção é circular, é natural usar coordenadas polares (r,\theta). Em polares o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta. Substituindo J(r)=J_{0}\dfrac{r^{2}}{R^{2}} obtemos
Comentário didático: a presença do fator 1/2 vem do perfil não uniforme de J (aumenta com r^{2}); se J fosse uniforme (J=J_{0}) teríamos I=J_{0}\pi R^{2}. Aqui, porque a densidade é maior em r grande mas o fator médio resulta em metade do caso uniforme multiplicado por J_{0}.