Questão 4 (3,0 pontos) A densidade de corrente entre as extremidades de um condutor cilíndrico de comprimento L e raio R varia em intensidade de acordo com a equação: J=J_{0}\left(r^{2} / R^{2}\right), onde r é a distância a partir do eixo central.
a) (1,0) Mostre que a corrente, em termos de J_{0} e do raio do condutor, é dada por I=\left(J_{0} \pi R^{2}\right) / 2.
b) (0,5) Para a densidade de corrente dada por J_{0}= 12 \times 10^{4} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2} e o raio do condutor igual R=8 \mathrm{~mm}, calcule a corrente (I) que percorre o condutor.
c) (0,5) Considere o comprimento do fio (condutor) igual a L=4 m, o raio igual R=8 m m e a resistência elétrica do condutor igual a 4,7 \Omega. Calcule a resistividade elétrica do condutor, \rho_{R}.
d) (0,5) Calcule a diferença de potencial no condutor.
e) (0,5) Calcule a potência dissipada nesse condutor.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de corrente no interior do condutor cilíndrico como
J(r)=J_{0}\,\frac{r^{2}}{R^{2}},
onde r é a distância ao eixo, R é o raio do condutor e J_{0} é uma constante (intensidade de densidade na borda multiplicada por fator). O condutor tem comprimento L (usado nas partes posteriores) e resistência elétrica dada em (c).
As perguntas são:
a) Mostrar que a corrente total atravessando a seção transversal é \displaystyle I=\frac{J_{0}\,\pi R^{2}}{2}.
b) Calcular I para J_{0}=12\times10^{4}\\ \mathrm{A/m^{2}} e R=8\\ \mathrm{mm}.
c) Com L=4\\ \mathrm{m}, R=8\\ \mathrm{mm} e resistência elétrica R_{\text{el}}=4,7\\ \Omega, calcular a resistividade elétrica \rho_{R}.
d) Calcular a diferença de potencial (tensão) no condutor.
e) Calcular a potência dissipada no condutor.
Dados relevantes que usaremos: elemento de área em coordenadas polares na seção circular é dA=r\,dr\,d\theta; relação entre resistência, resistividade, comprimento e área é \displaystyle R_{\text{el}}=\frac{\rho\,L}{A}; potência dissipada pode ser calculada por P=I^{2}R_{\text{el}}=VI.

Passo 2

(Resolução da letra a — dedução da expressão de I.)
Explicação do conceito usado: a corrente total que atravessa a seção transversal é a integral da densidade de corrente sobre a área da seção. Isso significa somar (integrar) J em cada pedacinho de área dA:
I=\iint_{A} J(r)\,dA.
Como a seção é circular, é natural usar coordenadas polares (r,\theta). Em polares o elemento de área é dA=r\,dr\,d\theta. Substituindo J(r)=J_{0}\dfrac{r^{2}}{R^{2}} obtemos
I=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{R} J_{0}\frac{r^{2}}{R^{2}}\; r\,dr\,d\theta.
Desenvolvendo a integral passo a passo:
I=J_{0}\frac{1}{R^{2}}\int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{R} r^{3}\,dr.
Calcule a integral em r:
\int_{0}^{R} r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{R}=\frac{R^{4}}{4}.
E a integral em \theta é \int_{0}^{2\pi}d\theta=2\pi. Então
I=J_{0}\frac{1}{R^{2}}\cdot 2\pi\cdot\frac{R^{4}}{4} =J_{0}\,\frac{2\pi R^{2}}{4} =J_{0}\,\frac{\pi R^{2}}{2}.
Portanto, mostramos que
\boxed{\,I=\frac{J_{0}\,\pi R^{2}}{2}\,}
Comentário didático: a presença do fator 1/2 vem do perfil não uniforme de J (aumenta com r^{2}); se J fosse uniforme ( J=J_{0}) teríamos I=J_{0}\pi R^{2}. Aqui, porque a densidade é maior em r grande mas o fator médio resulta em metade do caso uniforme multiplicado por J_{0}.

Passo 3

(Resolução da letra b — cálculo numérico de I.)
Dados para substituir:
J_{0}=12\times10^{4}\\ \mathrm{A/m^{2}}=1,2\times10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}},\qquad R=8\\ \mathrm{mm}=8\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Use a fórmula \displaystyle I=\frac{J_{0}\,\pi R^{2}}{2}. Primeiro calcule R^{2}:
R^{2}=(8\times10^{-3})^{2}=64\times10^{-6}=6,4\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
Multiplique J_{0}R^{2}:
J_{0}R^{2}=1,2\times10^{5}\times6,4\times10^{-5}=7,68.
Então
I=\frac{7,68\;\pi}{2}=3,84\pi.
Valor numérico (usar \pi\approx3,14159265):
I\approx 3,84\cdot 3,14159265 \approx 12,06\\ \mathrm{A}.
(Arredondando com três algarismos significativos: I\approx12,06\\ \mathrm{A}.)

Passo 4

(Resolução da letra c — cálculo da resistividade \rho_{R}.)
Fórmula que relaciona resistência elétrica, resistividade, comprimento e área:
R_{\text{el}}=\frac{\rho_{R}\,L}{A},
onde A=\pi R^{2} é a área da seção. Isolando \rho_{R}:
\rho_{R}=\frac{R_{\text{el}}\,A}{L}=\frac{R_{\text{el}}\,\pi R^{2}}{L}.
Substituindo os valores R_{\text{el}}=4,7\\ \Omega, R^{2}=6,4\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}} (calculado no passo anterior) e L=4\\ \mathrm{m}:
\rho_{R}= \frac{4,7\;\pi\; (6,4\times10^{-5})}{4} =4,7\;\pi\;(1,6\times10^{-5}).
Calcule numericamente:
4,7\times 1,6\times10^{-5}=7,52\times10^{-5},
\rho_{R}=7,52\times10^{-5}\cdot\pi\approx 7,52\times10^{-5}\cdot3,14159265 \approx 2,36\times10^{-4}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
Logo \displaystyle \rho_{R}\approx 2,36\times10^{-4}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.

Passo 5

(Resolução da letra d — diferença de potencial.)
A diferença de potencial entre as extremidades do condutor é dada por
V=I\,R_{\text{el}}.
Usamos I calculada no passo 3, I\approx12,06\\ \mathrm{A}, e R_{\text{el}}=4,7\\ \Omega:
V\approx 12,06\cdot 4,7 \approx 56,70\\ \mathrm{V}.

Passo 6

(Resolução da letra e — potência dissipada.)
A potência dissipada por efeito Joule é
P=I^{2}R_{\text{el}}.
Usando I\approx12,06\\ \mathrm{A} e R_{\text{el}}=4,7\\ \Omega:
P\approx (12,06)^{2}\cdot 4,7 \approx 145,4\cdot 4,7 \approx 684,0\\ \mathrm{W}.
(Alternativamente P=V\cdot I e dá o mesmo resultado.)

Resposta

a) \displaystyle I=\frac{J_{0}\,\pi R^{2}}{2}.
b) \displaystyle I\approx 12,06\\ \mathrm{A}.
c) \displaystyle \rho_{R}\approx 2,36\times10^{-4}\\ \Omega\cdot\mathrm{m}.
d) \displaystyle V\approx 56,70\\ \mathrm{V}.
e) \displaystyle P\approx 684,0\\ \mathrm{W}.

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