Questão 1 (
ponto) Suponha que você tem três capacitores iguais
e uma bateria de 3,0 Volt. a)
Como você deve conectar os capacitores (em série, paralelo ou misto) a bateria para que os capacitores armazenem o máximo de energia possível? Justifique a sua resposta.
Calcule a carga máxima armazenada no conjunto de capacitores combinados no item
.
c) ( 0,7 ) Depois que os capacitores do item
forem carregados a bateria é substituída por uma resistência de 2
. calcule a constante de tempo nesse circuito resultante.
c) ( 0,7 ) Depois que os capacitores do item
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver ainda).
-
Dados fornecidos:
- Três capacitores idênticos com
. - Uma bateria com tensão
. - Depois de carregar, a bateria é substituída por uma resistência
.
- Três capacitores idênticos com
-
Perguntas:
a) Como conectar os três capacitores (série, paralelo ou misto) para que armazenem a máxima energia possível? Justificar.
b) Calcular a carga máxima armazenada no conjunto de capacitores combinados na configuração do item (a).
c) Após substituir a bateria pela resistência de, calcular a constante de tempo do circuito resultante.
Passo 2
Princípio físico que guia a escolha da conexão (aula rápida e necessária).
- Energia armazenada em um capacitor ideal:
onde:
-
é a energia armazenada (em joules), -
é a capacitância equivalente do conjunto (em farads), -
é a diferença de potencial sobre o conjunto (em volts). -
Observação importante: para uma dada tensão
fornecida pela bateria, a energia total armazenada aumenta quando aumenta, pois é proporcional a . Portanto, para maximizar a energia armazenada com uma bateria fixa, devemos escolher a configuração que maximize .
Passo 3
Capacitância equivalente para capacitores iguais conectados em paralelo (conceito e cálculo).
- Regra: em paralelo as capacitâncias somam:
- Para
temos:
- Substituindo
:
- Em unidades de SI:
Passo 4
Capacitância equivalente para capacitores iguais em série (para comparação).
- Regra: em série a recíproca soma:
- Para todos iguais:
- Substituindo
:
Passo 5
Capacitância equivalente para uma configuração mista típica (dois em paralelo, outro em série) — avaliar também.
- Se dois estão em paralelo e esse grupo em série com o terceiro:
- Substituindo
:
Passo 6
Comparação entre as três opções e conclusão para o item (a).
-
Valores obtidos:
- Paralelo:
. - Série:
. - Misto (2 paralelo + 1 série):
.
- Paralelo:
-
Como a energia armazenada é proporcional a
(para fixo), a configuração que maximiza é a melhor. Logo, a melhor conexão para máximo de energia é a conexão em paralelo (todos os três capacitores em paralelo), porque é maior que quaisquer outros valores possíveis com essas três unidades.
Passo 7
Cálculo da carga máxima armazenada no conjunto em paralelo (item b), explicando conceito de carga em capacitores.
- Em paralelo, todos os capacitores ficam com a mesma tensão
da bateria. - Carga em um capacitor individual:
- Para os dados:
- Carga total no conjunto (soma das cargas, pois em paralelo as cargas somam):
- Em notação SI:
Passo 8
Constante de tempo do circuito com resistência substituindo a bateria (item c): definição e cálculo passo a passo.
- Para uma resistência
conectada a uma capacitância equivalente , a constante de tempo é:
onde:
-
tem unidades de segundos e caracteriza a velocidade da descarga (por exemplo, a carga decai como ). -
Usando os valores:
-
. -
.
-
-
Cálculo:
- Verificação de unidade:
, então o resultado está em segundos.
Passo 9
Resumo didático e motivacional rápido.
- Resumindo: para armazenar o máximo de energia com tensão fixa, quer-se a maior capacitância equivalente possível — isso é conseguido ligando todos em paralelo. Cada capacitor armazena
e o conjunto . Ao colocar a resistência de o circuito tem uma constante de tempo longa: (ou seja, a descarga é lenta — leva vários minutos para descarregar quase totalmente).
Resposta
a) Em paralelo (todos os três capacitores em paralelo).
b) .
c) .
b)
c)