Questão 1 ( \mathbf{2 , 0} ponto) Suponha que você tem três capacitores iguais (C=10 \mu F) e uma bateria de 3,0 Volt. a) (0,8) Como você deve conectar os capacitores (em série, paralelo ou misto) a bateria para que os capacitores armazenem o máximo de energia possível? Justifique a sua resposta.
b)(0,7) Calcule a carga máxima armazenada no conjunto de capacitores combinados no item a.
c) ( 0,7 ) Depois que os capacitores do item a forem carregados a bateria é substituída por uma resistência de 2 M \Omega. calcule a constante de tempo nesse circuito resultante.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e os dados que temos (sem resolver ainda).
  • Dados fornecidos:
    • Três capacitores idênticos com C=10\\ \mu\mathrm{F}.
    • Uma bateria com tensão V=3,0\\ \mathrm{V}.
    • Depois de carregar, a bateria é substituída por uma resistência R=2\\ \mathrm{M}\Omega.
  • Perguntas:
    a) Como conectar os três capacitores (série, paralelo ou misto) para que armazenem a máxima energia possível? Justificar.
    b) Calcular a carga máxima armazenada no conjunto de capacitores combinados na configuração do item (a).
    c) Após substituir a bateria pela resistência de 2\\ \mathrm{M}\Omega, calcular a constante de tempo do circuito resultante.

Passo 2

Princípio físico que guia a escolha da conexão (aula rápida e necessária).
  • Energia armazenada em um capacitor ideal:
U=\tfrac{1}{2}C_{\text{eq}}V^{2},
onde:
  • U é a energia armazenada (em joules),
  • C_{\text{eq}} é a capacitância equivalente do conjunto (em farads),
  • V é a diferença de potencial sobre o conjunto (em volts).
  • Observação importante: para uma dada tensão V fornecida pela bateria, a energia total armazenada aumenta quando C_{\text{eq}} aumenta, pois U é proporcional a C_{\text{eq}}. Portanto, para maximizar a energia armazenada com uma bateria fixa, devemos escolher a configuração que maximize C_{\text{eq}}.

Passo 3

Capacitância equivalente para capacitores iguais conectados em paralelo (conceito e cálculo).
  • Regra: em paralelo as capacitâncias somam:
C_{\text{eq, paralelo}}=C_{1}+C_{2}+C_{3}.
  • Para C_{1}=C_{2}=C_{3}=C temos:
C_{\text{eq, paralelo}}=3C.
  • Substituindo C=10\\ \mu\mathrm{F}:
C_{\text{eq, paralelo}}=3\times 10\\ \mu\mathrm{F}=30\\ \mu\mathrm{F}.
  • Em unidades de SI:
30\\ \mu\mathrm{F}=30\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.

Passo 4

Capacitância equivalente para capacitores iguais em série (para comparação).
  • Regra: em série a recíproca soma:
\frac{1}{C_{\text{eq, série}}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}+\frac{1}{C_{3}}.é
  • Para todos iguais:
\frac{1}{C_{\text{eq, série}}}=\frac{1}{C}+\frac{1}{C}+\frac{1}{C}=\frac{3}{C}, \qquad C_{\text{eq, série}}=\frac{C}{3}.éé
  • Substituindo C=10\\ \mu\mathrm{F}:
C_{\text{eq, série}}=\frac{10\\ \mu\mathrm{F}}{3}\approx 3{,}333\\ \mu\mathrm{F}.é

Passo 5

Capacitância equivalente para uma configuração mista típica (dois em paralelo, outro em série) — avaliar também.
  • Se dois estão em paralelo e esse grupo em série com o terceiro:
C_{\text{par}}=C+C=2C,
\frac{1}{C_{\text{eq, misto}}}=\frac{1}{C_{\text{par}}}+\frac{1}{C}=\frac{1}{2C}+\frac{1}{C}=\frac{3}{2C},
C_{\text{eq, misto}}=\frac{2C}{3}.
  • Substituindo C=10\\ \mu\mathrm{F}:
C_{\text{eq, misto}}=\frac{2\times10\\ \mu\mathrm{F}}{3}\approx 6{,}667\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 6

Comparação entre as três opções e conclusão para o item (a).
  • Valores obtidos:
    • Paralelo: C_{\text{eq}}=30\\ \mu\mathrm{F}.
    • Série: C_{\text{eq}}\approx 3{,}333\\ \mu\mathrm{F}.
    • Misto (2 paralelo + 1 série): C_{\text{eq}}\approx 6{,}667\\ \mu\mathrm{F}.
  • Como a energia armazenada é proporcional a C_{\text{eq}} (para V fixo), a configuração que maximiza C_{\text{eq}} é a melhor. Logo, a melhor conexão para máximo de energia é a conexão em paralelo (todos os três capacitores em paralelo), porque 30\\ \mu\mathrm{F} é maior que quaisquer outros valores possíveis com essas três unidades.

Passo 7

Cálculo da carga máxima armazenada no conjunto em paralelo (item b), explicando conceito de carga em capacitores.
  • Em paralelo, todos os capacitores ficam com a mesma tensão V da bateria.
  • Carga em um capacitor individual:
Q_{\text{cada}}=C\cdot V.
  • Para os dados:
Q_{\text{cada}}=10\\ \mu\mathrm{F}\times 3{,}0\\ \mathrm{V}=30\\ \mu\mathrm{C}.
  • Carga total no conjunto (soma das cargas, pois em paralelo as cargas somam):
Q_{\text{total}}=3\times Q_{\text{cada}}=3\times 30\\ \mu\mathrm{C}=90\\ \mu\mathrm{C}.
  • Em notação SI:
Q_{\text{total}}=90\times10^{-6}\\ \mathrm{C}=9{,}0\times10^{-5}\\ \mathrm{C}.

Passo 8

Constante de tempo do circuito com resistência substituindo a bateria (item c): definição e cálculo passo a passo.
  • Para uma resistência R conectada a uma capacitância equivalente C_{\text{eq}}, a constante de tempo é:
\tau = R\,C_{\text{eq}},
onde:
  • \tau tem unidades de segundos e caracteriza a velocidade da descarga (por exemplo, a carga decai como Q(t)=Q_{0}\,e^{-t/\tau}).
  • Usando os valores:
    • R=2\\ \mathrm{M}\Omega=2\times10^{6}\\ \Omega.
    • C_{\text{eq}}=30\\ \mu\mathrm{F}=30\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • Cálculo:
\tau = (2\times10^{6}\\ \Omega)\times(30\times10^{-6}\\ \mathrm{F})=60\\ \mathrm{s}.
  • Verificação de unidade: \Omega\cdot\mathrm{F}=\mathrm{s}, então o resultado está em segundos.

Passo 9

Resumo didático e motivacional rápido.
  • Resumindo: para armazenar o máximo de energia com tensão fixa, quer-se a maior capacitância equivalente possível — isso é conseguido ligando todos em paralelo. Cada capacitor armazena 30\\ \mu\mathrm{C} e o conjunto 90\\ \mu\mathrm{C}. Ao colocar a resistência de 2\\ \mathrm{M}\Omega o circuito tem uma constante de tempo longa: 60\\ \mathrm{s} (ou seja, a descarga é lenta — leva vários minutos para descarregar quase totalmente).

Resposta

a) Em paralelo (todos os três capacitores em paralelo).
b) Q_{\text{total}}=90\\ \mu\mathrm{C}.
c) \tau=60\\ \mathrm{s}.

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