Uma corda de 1,5 \mathrm{~m} fixa em ambas as extremidades vibra com harmônico de ordem \mathrm{n}=3. A velocidade de propagação é 120 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
(a) Determine o comprimento de onda e a frequência.
(b) Se a amplitude de cada onda componente for 2,5 \mathrm{~cm}, determine a amplitude máxima do ponto médio da corda.

Passo 1

Dados fornecidos:
L = 1,5\\ \mathrm{m},\quad n = 3,\quad v = 120\\ \mathrm{m/s}
Além disso, na parte (b) é dada a amplitude de cada onda viajante:
A = 2,5\\ \mathrm{cm} = 0,025\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
(a) determinar o comprimento de onda \lambda e a frequência f;
(b) determinar a amplitude máxima do ponto médio da corda.

Passo 2

Condição para modos normais (corda fixa nas duas extremidades): a corda deve acomodar um número inteiro de meios comprimentos de onda. Isso se escreve como
L = \frac{n\lambda}{2}.
Aqui:
  • \;L\; é o comprimento da corda (em metros),
  • \;n\; é o número do harmônico (inteiro),
  • \;\lambda\; é o comprimento de onda (em metros).
    Rearranjando para \lambda:
\lambda = \frac{2L}{n}.
Essa fórmula vem da ideia física de que entre as duas extremidades fixas cabem n semi-ondas ( n vezes \lambda/2).

Passo 3

Aplicando a fórmula para \lambda:
\lambda = \frac{2L}{n} = \frac{2\cdot 1,5}{3}.
Calculemos passo a passo: 2\cdot 1,5 = 3,0 e 3,0/3 = 1,0. Portanto
\lambda = 1,0\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Relação entre velocidade, comprimento de onda e frequência:
v = \lambda f,
onde
  • \;v\; é a velocidade de propagação (em \mathrm{m/s}),
  • \;\lambda\; é o comprimento de onda (em \mathrm{m}),
  • \;f\; é a frequência (em \mathrm{Hz}).
    Isolando f:
f = \frac{v}{\lambda}.
Substituindo v=120\\ \mathrm{m/s} e \lambda=1,0\\ \mathrm{m}:
f = \frac{120}{1,0} = 120\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Agora a parte da amplitude da onda estacionária. Duas ondas viajantes de mesma amplitude A em direções opostas:
y_1(x,t)=A\sin(kx-\omega t),\qquad y_2(x,t)=A\sin(kx+\omega t).
Somando-as (superposição):
\begin{aligned} y(x,t) &= y_1+y_2 \\\ &= A\sin(kx-\omega t)+A\sin(kx+\omega t). \end{aligned}
Usando a identidade trigonométrica \sin\alpha+\sin\beta = 2\sin\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right), obtemos a forma de onda estacionária:
y(x,t)=2A\sin(kx)\cos(\omega t).
Aqui:
  • \;k\;=\;2\pi/\lambda\; é o número de onda (rad/m),
  • \;\omega\;=\;2\pi f\; é a frequência angular (rad/s).
    A amplitude máxima (envelope) num ponto x é, portanto,
Y_{\max}(x)=2A\bigl|\sin(kx)\bigr|.
Isso significa que o fator espacial |\sin(kx)| determina quanto da amplitude total aparece naquele ponto; o multiplicador 2A vem da soma das duas ondas viajantes.

Passo 6

Vamos avaliar o ponto médio x = L/2. Primeiro calculamos k:
k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{1,0} = 2\pi\\ \text{rad/m}.
Então
kx = k\cdot\frac{L}{2} = 2\pi\cdot\frac{1,5}{2} = 2\pi\cdot 0,75 = 1,5\pi = \frac{3\pi}{2}.
Conhecemos o valor trigonométrico:
\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -1,
logo \bigl|\sin(kx)\bigr| = 1. Assim a amplitude máxima no ponto médio é
Y_{\max}\!\left(\frac{L}{2}\right) = 2A\cdot 1 = 2A.
Substituindo A = 0,025\\ \mathrm{m}:
Y_{\max}\!\left(\frac{L}{2}\right) = 2\cdot 0,025 = 0,050\\ \mathrm{m} = 5,0\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) \lambda = 1,0\\ \mathrm{m};\quad f = 120\\ \mathrm{Hz}
(b) Y_{\max}\!\left(\dfrac{L}{2}\right) = 5,0\\ \mathrm{cm}

Exercícios relacionados