Duas fontes sonoras idênticas emitem ondas de 680 Hz em fase. Um microfone está a distâncias \mathrm{d}_{1}=3,0 \mathrm{~m} \mathrm{e} \mathrm{d}_{2}=3,5 \mathrm{~m} das fontes.
(a) Ocorre interferência construtiva ou destrutiva?
(b) Qual a menor frequência (maior comprimento de onda) para que haja interferência construtiva no mesmo ponto?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Duas fontes sonoras idênticas emitem ondas em fase com frequência \,680\\ \text{Hz}\,.
  • As distâncias do microfone às fontes são \,d_{1}=3,0\\ \text{m}\, e \,d_{2}=3,5\\ \text{m}\,.
  • Pergunta (a): Ocorre interferência construtiva ou destrutiva nesse ponto?
  • Pergunta (b): Qual a menor frequência (maior comprimento de onda) para que haja interferência construtiva no mesmo ponto?

Passo 2

Conceitos fundamentais que vamos usar (explicadinho, passo a passo):
  • Quando duas ondas chegam a um ponto, o que importa para a interferência é a diferença de caminho percorrido por elas, chamada de diferença de percurso \Delta d. Aqui
\Delta d = d_{2}-d_{1}.
  • A condição de interferência construtiva (fontes em fase) é que as ondas cheguem em fase, ou seja, que a diferença de percurso seja um múltiplo inteiro do comprimento de onda \lambda:
\text{construtiva:}\quad \Delta d = m\,\lambda,\quad m=0,1,2,\dots
  • A condição de interferência destrutiva (fontes em fase) é que a diferença de percurso seja um múltiplo semi-inteiro de \lambda:
\text{destrutiva:}\quad \Delta d = \left(m+\tfrac{1}{2}\right)\lambda,\quad m=0,1,2,\dots
  • Relação entre velocidade do som v, frequência f e comprimento de onda \lambda:
\lambda=\frac{v}{f}.
Aqui v é a velocidade do som no ar (em m/s), f é a frequência (em Hz) e \lambda é o comprimento de onda (em m).

Passo 3

Calcular a diferença de percurso \Delta d com os dados fornecidos:
\Delta d = d_{2}-d_{1} = 3,5\\ \text{m} - 3,0\\ \text{m} = 0,5\\ \text{m}.
Escrevo em TeX:
\Delta d = 0,5\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda correspondente à frequência dada \,f=680\\ \text{Hz}\,.
  • Preciso de v. Em problemas típicos de acústica em sala considera-se v\approx 340\\ \text{m/s} (valor padrão a temperatura ambiente). Vou usar v=340\\ \text{m/s} e explico que é um valor de referência; se usar outro v (por ex. 343\\ \text{m/s}) os números mudam um pouco.
  • Usando \lambda=\dfrac{v}{f}:
\lambda=\frac{340}{680}=0,5\\ \text{m}.
Portanto, para f=680\\ \text{Hz} temos \lambda=0,5\\ \text{m}.

Passo 5

Comparar \Delta d com \lambda e decidir (a):
  • Encontramos \Delta d=0,5\\ \text{m} e \lambda=0,5\\ \text{m}.
  • Logo \Delta d = 1\cdot \lambda, isto é \Delta d = m\lambda com m=1.
  • Pela condição de interferência, isso é exatamente uma condição de interferência construtiva.
    Conclusão (a): ocorre interferência construtiva porque as ondas chegam defasadas por um inteiro número de comprimentos de onda (um comprimento de onda).

Passo 6

Responder (b): menor frequência (maior \lambda) que ainda dá construtiva no mesmo ponto.
  • A condição de construtiva é \Delta d = m\lambda. Para que \lambda seja o maior possível (ou seja, para a menor frequência possível), devemos escolher o menor m positivo possível. m=0 só ocorre se \Delta d=0 (não é o caso aqui), então o menor m válido é m=1.
  • Assim o maior \lambda que satisfaz é
\lambda_{\max}=\Delta d=0,5\\ \text{m}.
  • A menor frequência correspondente é
f_{\min}=\frac{v}{\lambda_{\max}}=\frac{340}{0,5}=680\\ \text{Hz}.
  • Observação pedagógica: se escolhesse m=2 terias \lambda=0,25\\ \text{m} e f=1360\\ \text{Hz}, que também dá construtiva, mas é frequência maior. Portanto a mínima é a que tira m=1.

Resposta

(a) Interferência construtiva.
(b) f_{\min}=680\\ \text{Hz} (correspondente a \lambda_{\max}=0,5\\ \text{m}).

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