Uma onda \psi \mathrm{i}=\mathrm{A} \sin (\mathrm{kx}-\omega \mathrm{t}) propaga-se em uma corda de densidade linear \mu_{1} acoplada a outra de densidade \mu_{2}=4 \mu.
Determine as amplitudes das ondas refletida e transmitida.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede: \n
  • Temos uma onda incidente \psi_i = A \sin(\,k x - \omega t\,) que viaja numa corda de densidade linear \mu_1. \n
  • A corda está ligada a outra corda com densidade linear \mu_2. O enunciado informa \mu_2 = 4\mu. Vou interpretar isso como \mu_2 = 4\mu_1 (ou seja, a segunda corda é 4 vezes mais pesada que a primeira). Se você tinha outra intenção, diga depois; aqui sigo essa interpretação. \n
  • O objetivo é determinar as amplitudes da onda refletida e da onda transmitida quando a onda incide na junção entre as duas cordas. \n
    Informações relevantes extraídas do enunciado: \n
  • amplitude da onda incidente: \,A\,. \n
  • frequência comum: \,\omega\, (mesma em ambos os lados da junção). \n
  • comprimentos de onda/wavenumbers podem ser diferentes nos dois trechos: k_1 na corda com \mu_1 e k_2 na corda com \mu_2. \n
  • tensão na corda será assumida como a mesma em ambos os trechos (condição usual em problemas de cordas acopladas). \n
    Não resolvo nada ainda; apenas organizei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Modelagem das ondas e condições na junção (intuição e fórmulas que vamos usar): \n
  • Vou usar representações harmônicas complexas para facilitar contas algébricas. As correspondências com as ondas reais \sin serão feitas no final. \n
  • Na região x<0 (corda 1) a soma da onda incidente e da refletida vale: \Psi_1(x,t)=A e^{i(k_1 x-\omega t)} + A_r e^{i(-k_1 x-\omega t)}, onde \,A_r é a amplitude complexa (no nosso caso real) da onda refletida. \n
  • Na região x>0 (corda 2) a onda transmitida é \Psi_2(x,t)=A_t e^{i(k_2 x-\omega t)}, onde \,A_t é a amplitude transmitida. \n
    As condições na junção x=0 (essas são físicas e muito importantes; aqui explico o porquê): \n
  1. Continuidade do deslocamento: a transversão da corda não pode pular no ponto de junção, então \Psi_1(0,t)=\Psi_2(0,t) para todo t. Isso dá uma equação entre amplitudes. \n
  2. Continuidade da força transversal: a força transversal na extremidade de cada corda deve ser igual. Para ondas pequenas numa corda tensa com tensão \mathcal{T} (mesma nas duas), a força transversal é proporcional à derivada espacial \partial \Psi/\partial x. Como a tensão é igual, fica a condição de continuidade de \partial \Psi/\partial x em x=0. (Se a tensão fosse diferente, apareceriam fatores, mas aqui assumimos mesma tensão.) \n
    Essas duas condições vão gerar duas equações lineares para \,A_r e \,A_t.

Passo 3

Aplicando a condição de continuidade do deslocamento em x=0: \n
  • Avaliando \Psi_1(0,t) temos \,A e^{-i\omega t} + A_r e^{-i\omega t} = (A + A_r)e^{-i\omega t}. \n
  • Avaliando \Psi_2(0,t) temos \,A_t e^{-i\omega t}. \n
    Igualando as duas expressões (e cancelando o fator comum e^{-i\omega t}) obtemos a primeira equação:
A + A_r = A_t.

Passo 4

Aplicando a condição de continuidade da derivada espacial em x=0: \n
  • Derivando \Psi_1 em x: \partial_x\Psi_1 = i k_1 A e^{i(k_1 x-\omega t)} - i k_1 A_r e^{i(-k_1 x-\omega t)}. Avaliando em x=0 \,i k_1(A - A_r)e^{-i\omega t}. \n
  • Derivando \Psi_2 em x: \partial_x\Psi_2 = i k_2 A_t e^{i(k_2 x-\omega t)}. Avaliando em x=0 \,i k_2 A_t e^{-i\omega t}. \n
    Igualando (e cancelando i e^{-i\omega t}) obtemos a segunda equação:
k_1\,(A - A_r) = k_2\,A_t.

Passo 5

Resolver o sistema linear para A_r e A_t: \n
Temos as equações
A + A_r = A_t
k_1(A - A_r) = k_2 A_t.
Substituo A_t da primeira na segunda:
k_1(A - A_r) = k_2(A + A_r).
Desenvolvendo:
k_1 A - k_1 A_r = k_2 A + k_2 A_r.
Agrupando termos com A_r:
- k_1 A_r - k_2 A_r = k_2 A - k_1 A.
A_r(-k_1 - k_2) = A(k_2 - k_1).
Portanto
A_r = A\,\frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2}.
Agora A_t vem da primeira equação:
A_t = A + A_r = A + A\,\frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} = A\,\frac{2k_1}{k_1 + k_2}.

Passo 6

Relacionando k com as densidades lineares \mu: \n
  • A velocidade de propagação numa corda tensa com tensão \mathcal{T} e densidade linear \mu é \displaystyle v=\sqrt{\frac{\mathcal{T}}{\mu}}. \n
  • O número de onda relaciona-se com a frequência por \displaystyle k=\frac{\omega}{v}=\omega\sqrt{\frac{\mu}{\mathcal{T}}}. Logo k é proporcional a \sqrt{\mu}: k\propto\sqrt{\mu}. \n
    Isso significa que podemos escrever k_1 = C\sqrt{\mu_1} e k_2 = C\sqrt{\mu_2} com o mesmo fator C=\omega/\sqrt{\mathcal{T}} que cancela ao formar razões. Portanto as fórmulas podem ser reescritas em termos de \sqrt{\mu}:
A_r = A\,\frac{\sqrt{\mu_1}-\sqrt{\mu_2}}{\sqrt{\mu_1}+\sqrt{\mu_2}},\qquad A_t = A\,\frac{2\sqrt{\mu_1}}{\sqrt{\mu_1}+\sqrt{\mu_2}}.

Passo 7

Aplicando \mu_2 = 4\mu_1: \n
  • Então \sqrt{\mu_2} = \sqrt{4\mu_1} = 2\sqrt{\mu_1}. \n
    Substituindo em A_r:
A_r = A\,\frac{\sqrt{\mu_1}-2\sqrt{\mu_1}}{\sqrt{\mu_1}+2\sqrt{\mu_1}} = A\,\frac{-\sqrt{\mu_1}}{3\sqrt{\mu_1}} = -\frac{1}{3}A.
Substituindo em A_t:
A_t = A\,\frac{2\sqrt{\mu_1}}{\sqrt{\mu_1}+2\sqrt{\mu_1}} = A\,\frac{2\sqrt{\mu_1}}{3\sqrt{\mu_1}} = \frac{2}{3}A.
Interpretação física rápida: o sinal negativo de A_r indica que a onda refletida sofre inversão de fase (deslocamento invertido, equivalente a uma diferença de fase de \pi). A amplitude transmitida é menor que a incidente, como esperado ao entrar numa corda mais pesada.

Resposta

A_r = -\dfrac{1}{3}A \n
A_t = \dfrac{2}{3}A

Exercícios relacionados