Uma onda
propaga-se em uma corda de densidade linear
acoplada a outra de densidade
.
Determine as amplitudes das ondas refletida e transmitida.
Determine as amplitudes das ondas refletida e transmitida.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede: \n
- Temos uma onda incidente
que viaja numa corda de densidade linear . \n - A corda está ligada a outra corda com densidade linear
. O enunciado informa . Vou interpretar isso como (ou seja, a segunda corda é 4 vezes mais pesada que a primeira). Se você tinha outra intenção, diga depois; aqui sigo essa interpretação. \n - O objetivo é determinar as amplitudes da onda refletida e da onda transmitida quando a onda incide na junção entre as duas cordas. \n
Informações relevantes extraídas do enunciado: \n - amplitude da onda incidente:
. \n - frequência comum:
(mesma em ambos os lados da junção). \n - comprimentos de onda/wavenumbers podem ser diferentes nos dois trechos:
na corda com e na corda com . \n - tensão na corda será assumida como a mesma em ambos os trechos (condição usual em problemas de cordas acopladas). \n
Não resolvo nada ainda; apenas organizei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Modelagem das ondas e condições na junção (intuição e fórmulas que vamos usar): \n
- Vou usar representações harmônicas complexas para facilitar contas algébricas. As correspondências com as ondas reais
serão feitas no final. \n - Na região
(corda 1) a soma da onda incidente e da refletida vale: , onde é a amplitude complexa (no nosso caso real) da onda refletida. \n - Na região
(corda 2) a onda transmitida é , onde é a amplitude transmitida. \n
As condições na junção(essas são físicas e muito importantes; aqui explico o porquê): \n
- Continuidade do deslocamento: a transversão da corda não pode pular no ponto de junção, então
para todo . Isso dá uma equação entre amplitudes. \n - Continuidade da força transversal: a força transversal na extremidade de cada corda deve ser igual. Para ondas pequenas numa corda tensa com tensão
(mesma nas duas), a força transversal é proporcional à derivada espacial . Como a tensão é igual, fica a condição de continuidade de em . (Se a tensão fosse diferente, apareceriam fatores, mas aqui assumimos mesma tensão.) \n
Essas duas condições vão gerar duas equações lineares parae .
Passo 3
Aplicando a condição de continuidade do deslocamento em
: \n
- Avaliando
temos . \n - Avaliando
temos . \n
Igualando as duas expressões (e cancelando o fator comum) obtemos a primeira equação:
Passo 4
Aplicando a condição de continuidade da derivada espacial em
: \n
- Derivando
em : . Avaliando em dá . \n - Derivando
em : . Avaliando em dá . \n
Igualando (e cancelando) obtemos a segunda equação:
Passo 5
Resolver o sistema linear para
e
: \n
Temos as equações
Temos as equações
Substituo
da primeira na segunda:
Desenvolvendo:
Agrupando termos com
:
Portanto
Agora
vem da primeira equação:
Passo 6
Relacionando
com as densidades lineares
: \n
- A velocidade de propagação numa corda tensa com tensão
e densidade linear é . \n - O número de onda relaciona-se com a frequência por
. Logo é proporcional a : . \n
Isso significa que podemos escrevere com o mesmo fator que cancela ao formar razões. Portanto as fórmulas podem ser reescritas em termos de :
Passo 7
Aplicando
: \n
- Então
. \n
Substituindo em:
Substituindo em
:
Interpretação física rápida: o sinal negativo de
indica que a onda refletida sofre inversão de fase (deslocamento invertido, equivalente a uma diferença de fase de
). A amplitude transmitida é menor que a incidente, como esperado ao entrar numa corda mais pesada.