Uma corda de nylon com 200 g tem as duas extremidades fixas. Ao vibrar, observa-se que o comprimento de onda do seu terceiro modo normal de vibração é 25 cm maior que o do seu quinto harmônico.
i) Qual é o comprimento da corda e o comprimento de onda do modo fundamental?
ii) Sendo a frequência fundamental de 100 Hz , determine a tensão que atua sobre a corda.
i) Qual é o comprimento da corda e o comprimento de onda do modo fundamental?
ii) Sendo a frequência fundamental de 100 Hz , determine a tensão que atua sobre a corda.
Passo 1
O enunciado e o que ele pede (peguei todos os dados do enunciado):
- Dados:
- Massa da corda:
(200 g). - As duas extremidades da corda estão fixas.
- O comprimento de onda do terceiro modo normal é
maior que o do quinto harmônico. - Frequência fundamental:
(usada na parte (ii)).
- Massa da corda:
- Perguntas:
i) Determinar o comprimento da cordae o comprimento de onda do modo fundamental .
ii) Com, determinar a tensão na corda.
Passo 2
Entendendo as ondas estacionárias numa corda com as duas extremidades fixas (explicação didática):
- Quando uma corda tem as duas extremidades fixas, só são permitidas ondas estacionárias com nós nas extremidades. Isso implica que o comprimento da corda contém um número inteiro de meia-ondas.
- Para o modo
(onde ), o comprimento de onda permitido é
Aqui
é o comprimento da corda e
é o número do modo (o mesmo que o número do harmônico neste caso).
- Assim, o terceiro modo corresponde a
e o quinto harmônico corresponde a . Logo
Passo 3
Traduzindo a condição do enunciado em equação e resolvendo para
:
- Do enunciado:
é maior que . Em fórmula:
- Substituindo as expressões em função de
:
- Agora resolvemos passo a passo:
Colocando em fator comum
:
Calcule a diferença:
Portanto
Isolando
:
Em centímetros:
.
Passo 4
Encontrando o comprimento de onda do modo fundamental
:
- Pela fórmula
. Então
Em centímetros:
.
Passo 5
Ligando frequência, comprimento de onda e velocidade (parte ii — passo inicial):
- Relação fundamental entre velocidade da onda
, frequência e comprimento de onda :
- Para a fundamental:
. Assim
Passo 6
Encontrando a densidade linear de massa
:
- A densidade linear é
. - Com
e :
Passo 7
Relação entre velocidade de onda e tensão, e cálculo da tensão
:
- A velocidade em uma corda tensionada satisfaz
Isolando
:
- Substituindo os valores (usando a forma fracionária para facilitar contas exatas):
Calcule
:
Então
Portanto a tensão é
.