Uma corda de nylon com 200 g tem as duas extremidades fixas. Ao vibrar, observa-se que o comprimento de onda do seu terceiro modo normal de vibração é 25 cm maior que o do seu quinto harmônico.
i) Qual é o comprimento da corda e o comprimento de onda do modo fundamental?
ii) Sendo a frequência fundamental de 100 Hz , determine a tensão que atua sobre a corda.

Passo 1

O enunciado e o que ele pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Dados:
    • Massa da corda: m=0,2\\ \text{kg} (200 g).
    • As duas extremidades da corda estão fixas.
    • O comprimento de onda do terceiro modo normal é 25\\ \text{cm}=0,25\\ \text{m} maior que o do quinto harmônico.
    • Frequência fundamental: f_1=100\\ \text{Hz} (usada na parte (ii)).
  • Perguntas:
    i) Determinar o comprimento da corda L e o comprimento de onda do modo fundamental \lambda_1.
    ii) Com f_1=100\\ \text{Hz}, determinar a tensão T na corda.

Passo 2

Entendendo as ondas estacionárias numa corda com as duas extremidades fixas (explicação didática):
  • Quando uma corda tem as duas extremidades fixas, só são permitidas ondas estacionárias com nós nas extremidades. Isso implica que o comprimento da corda contém um número inteiro de meia-ondas.
  • Para o modo n (onde n=1,2,3,\dots), o comprimento de onda permitido é
\lambda_n=\frac{2L}{n}.
Aqui L é o comprimento da corda e n é o número do modo (o mesmo que o número do harmônico neste caso).
  • Assim, o terceiro modo corresponde a n=3 e o quinto harmônico corresponde a n=5. Logo
\lambda_3=\frac{2L}{3},\qquad \lambda_5=\frac{2L}{5}.

Passo 3

Traduzindo a condição do enunciado em equação e resolvendo para L:
  • Do enunciado: \lambda_3 é 0,25\\ \text{m} maior que \lambda_5. Em fórmula:
\lambda_3=\lambda_5+0,25.
  • Substituindo as expressões em função de L:
\frac{2L}{3}=\frac{2L}{5}+0,25.
  • Agora resolvemos passo a passo:
\frac{2L}{3}-\frac{2L}{5}=0,25.
Colocando em fator comum 2L:
2L\Big(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\Big)=0,25.
Calcule a diferença:
\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}.
Portanto
2L\cdot\frac{2}{15}=0,25 \quad\Rightarrow\quad \frac{4L}{15}=0,25.
Isolando L:
L=0,25\cdot\frac{15}{4}= \frac{15}{16}=0,9375\\ \text{m}.
Em centímetros: L=93,75\\ \text{cm}.

Passo 4

Encontrando o comprimento de onda do modo fundamental \lambda_1:
  • Pela fórmula \lambda_1=\dfrac{2L}{1}=2L. Então
\lambda_1=2L=2\cdot0,9375=1,875\\ \text{m}.
Em centímetros: \lambda_1=187,5\\ \text{cm}.

Passo 5

Ligando frequência, comprimento de onda e velocidade (parte ii — passo inicial):
  • Relação fundamental entre velocidade da onda v, frequência f e comprimento de onda \lambda:
v=f\lambda.
  • Para a fundamental: v=f_1\lambda_1. Assim
v=100\cdot1,875=187,5\\ \text{m/s}.

Passo 6

Encontrando a densidade linear de massa \mu:
  • A densidade linear é \mu=\dfrac{m}{L}.
  • Com m=0,2\\ \text{kg} e L=0,9375\\ \text{m}:
\mu=\frac{0,2}{0,9375}=0,213\overline{3}\\ \text{kg/m}=\frac{16}{75}\\ \text{kg/m}.

Passo 7

Relação entre velocidade de onda e tensão, e cálculo da tensão T:
  • A velocidade em uma corda tensionada satisfaz
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Isolando T:
T=\mu v^2.
  • Substituindo os valores (usando a forma fracionária para facilitar contas exatas):
T=\frac{16}{75}\cdot(187,5)^2.
Calcule (187,5)^2:
(187,5)^2=35156,25.
Então
T=\frac{16}{75}\cdot35156,25=\frac{562500}{75}=7500\\ \text{N}.
Portanto a tensão é 7500\\ \text{N}.

Resposta

L=0,9375\\ \text{m} e \lambda_1=1,875\\ \text{m}
T=7500\\ \text{N}

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