Para a onda descrita pela seguinte função, em unidades CGS,
\psi(x, t)=4,5 \operatorname{sen}(2,0 \pi x-8,0 \pi t-\pi / 3) .
i) Determine a amplitude, a frequência, o comprimento de onda, o número de onda, a frequência angular, a velocidade de fase e a velocidade máxima de um elemento da corda.
ii) Se cada jarda da corda tem massa de 41,4 \mathrm{lb}, determine a tensão na corda e a potência média transportada pela onda.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda (unidades CGS)
\psi(x,t)=4,5\operatorname{sen}\bigl(2,0\pi x-8,0\pi t-\pi/3\bigr).
O que é pedido:
  • (i) amplitude, frequência, comprimento de onda, número de onda, frequência angular, velocidade de fase e velocidade máxima de um elemento da corda;
  • (ii) sabendo que cada jarda da corda tem massa 41,4\\ \mathrm{lb}, determinar a tensão na corda e a potência média transportada pela onda.
Informações que extraí do enunciado:
  • A amplitude aparente é 4,5 (unidades de comprimento no sistema CGS → centímetros).
  • O argumento da função seno é 2,0\pi x-8,0\pi t-\pi/3. Disto podemos identificar o número de onda k e a frequência angular \omega.

Passo 2

Identificar amplitude A.
Explicação rápida: amplitude é o valor máximo da deflexão transverse da corda, ou seja o coeficiente multiplicando a função seno.
Logo
A=4,5\\ \text{cm}.

Passo 3

Identificar número de onda k e frequência angular \omega.
O argumento padrão de uma onda progressiva é kx-\omega t+\varphi. Comparando com 2,0\pi x-8,0\pi t-\pi/3 obtemos
k=2,0\pi\quad(\text{unidade: cm}^{-1}), \qquad \omega=8,0\pi\quad(\text{unidade: rad/s}).
Breve comentário: k mede quantas oscilações cabem por unidade de comprimento; \omega mede quantas variações angulares ocorrem por segundo.

Passo 4

Determinar a frequência temporal f.
Fórmula usada: \displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi}. Aqui \omega=8,0\pi, portanto
f=\frac{8,0\pi}{2\pi}=4,0\\ \text{Hz}.
Explicação: f é o número de oscilações por segundo.

Passo 5

Determinar o comprimento de onda \lambda.
Fórmula usada: \displaystyle \lambda=\frac{2\pi}{k}. Com k=2,0\pi,
\lambda=\frac{2\pi}{2,0\pi}=1,0\\ \text{cm}.
Comentário: comprimento de onda é a distância entre pontos sucessivos em fase.

Passo 6

Reescreveros valores já obtidos (síntese rápida):
k=2,0\pi\\ \text{cm}^{-1},\qquad \omega=8,0\pi\\ \text{rad/s},\qquad f=4,0\\ \text{Hz},\qquad \lambda=1,0\\ \text{cm}.

Passo 7

Determinar velocidade de fase v_{\text{fase}}.
Fórmula: \displaystyle v_{\text{fase}}=\frac{\omega}{k}.
Substituindo:
v_{\text{fase}}=\frac{8,0\pi}{2,0\pi}=4,0\\ \text{cm/s}.
Comentário: velocidade de fase é a velocidade com que uma fase constante (por exemplo, um pico) viaja ao longo da corda.

Passo 8

Determinar a velocidade máxima transversal de um elemento da corda.
Para uma onda \psi(x,t)=A\operatorname{sen}(kx-\omega t+\varphi) a velocidade transversal é \partial\psi/\partial t=-A\omega\cos(\cdot). O módulo máximo ocorre quando \cos(\cdot)=\pm1, logo
v_{\max}=A\omega.
Substituindo A=4,5\\ \text{cm} e \omega=8,0\pi\\ \text{rad/s}:
v_{\max}=4,5\times 8,0\pi =36\pi\\ \text{cm/s}\approx113,10\\ \text{cm/s}.

Passo 9

Preparar-se para calcular tensão e potência média: precisamos da massa por unidade de comprimento \mu em unidades CGS ( \mathrm{g/cm}).
Dado: cada jarda da corda tem massa 41,4\\ \mathrm{lb}.
Fórmulas de conversão usadas:
1\\ \mathrm{lb}=453,59237\\ \mathrm{g},\qquad 1\\ \text{jarda}=91,44\\ \text{cm}.
Calcular massa de uma jarda em gramas:
m_{\text{1 jarda}}=41,4\times 453,59237 =18778,724118\\ \mathrm{g}.
Logo a massa por unidade de comprimento é
\mu=\frac{18778,724118}{91,44}\approx205,3667\\ \mathrm{g/cm}.
Comentário: em CGS a unidade de massa por comprimento é grama por centímetro.

Passo 10

Determinar a tensão T na corda a partir da relação entre velocidade de propagação e tensão.
Fórmula para ondas numa corda (pequenas transversas):
v_{\text{fase}}=\sqrt{\frac{T}{\mu}}\quad\Longrightarrow\quad T=\mu v_{\text{fase}}^{2}.
Substituindo \mu\approx205,3667\\ \mathrm{g/cm} e v_{\text{fase}}=4,0\\ \mathrm{cm/s}:
T=205,3667\times (4,0)^{2}=205,3667\times 16 =3285,8672\\ \text{dyne}.
Converter para newton (1 dyne = 10^{-5} N):
T\approx3285,8672\times 10^{-5}\\ \text{N}=0,032858672\\ \text{N}\approx0,03286\\ \text{N}.
Breve observação: em CGS a tensão sai em dynes; a conversão para SI dá um valor pequeno em N porque a velocidade é muito baixa apesar da grande massa linear.

Passo 11

Determinar a potência média transportada pela onda.
Fórmula (derivada rápida):
  • A velocidade transverse é \partial\psi/\partial t=-A\omega\cos(kx-\omega t+\varphi).
  • A inclinação é \partial\psi/\partial x=A k\cos(kx-\omega t+\varphi).
  • Potência instantânea transmitida através de uma seção é P(t)=-T\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{\partial\psi}{\partial t}.
    Substituindo e usando identidade \cos^{2} e fazendo média temporal ( \langle\cos^{2}\rangle=1/2) obtém-se a forma prática
\langle P\rangle=\frac{1}{2}\,T A^{2}k\omega.
Usando T=\mu v^{2} e k=\omega/v chega-se à forma equivalente
\langle P\rangle=\frac{1}{2}\,\mu A^{2}\omega^{2}v.
Agora calcular numericamente com os valores já obtidos:
\mu\approx205,3667\\ \mathrm{g/cm},\quad A=4,5\\ \text{cm},\quad \omega=8,0\pi\\ \text{rad/s},\quad v=4,0\\ \text{cm/s}.
Calcular passo a passo:
A^{2}=4,5^{2}=20,25\\ \text{cm}^{2},
\omega^{2}=(8,0\pi)^{2}=64\pi^{2}\approx631,654684\\ \text{(rad/s)}^{2}.
Portanto
\langle P\rangle=\tfrac{1}{2}\times 205,3667\times 20,25\times 631,654684\times 4,0.
Executando a multiplicação obtém-se
\langle P\rangle\approx5\,253\,693,94\\ \text{erg/s}.
Converter para watts (1 erg/s = 10^{-7} W):
\langle P\rangle\approx5,253,693,94\times 10^{-7}\\ \text{W}=0,525369394\\ \text{W}\approx0,52537\\ \text{W}.
Comentário: em CGS a potência deu erg/s; a conversão para SI fornece um valor em watts.

Resposta

A=4,5\\ \text{cm}
f=4,0\\ \text{Hz}
\lambda=1,0\\ \text{cm}
k=2,0\pi\\ \text{cm}^{-1}
\omega=8,0\pi\\ \text{rad/s}
v_{\text{fase}}=4,0\\ \text{cm/s}
v_{\max}=36\pi\\ \text{cm/s}\approx113,10\\ \text{cm/s}
T\approx3,285,8672\times10^{3}\\ \text{dyne}\approx0,03286\\ \text{N}
\langle P\rangle\approx5,253,693,94\\ \text{erg/s}\approx0,52537\\ \text{W}

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