Para a onda descrita pela seguinte função, em unidades CGS,
i) Determine a amplitude, a frequência, o comprimento de onda, o número de onda, a frequência angular, a velocidade de fase e a velocidade máxima de um elemento da corda.
ii) Se cada jarda da corda tem massa de
, determine a tensão na corda e a potência média transportada pela onda.
ii) Se cada jarda da corda tem massa de
Passo 1
O enunciado dá a função de onda (unidades CGS)
O que é pedido:
- (i) amplitude, frequência, comprimento de onda, número de onda, frequência angular, velocidade de fase e velocidade máxima de um elemento da corda;
- (ii) sabendo que cada jarda da corda tem massa
, determinar a tensão na corda e a potência média transportada pela onda.
Informações que extraí do enunciado:
- A amplitude aparente é
(unidades de comprimento no sistema CGS → centímetros). - O argumento da função seno é
. Disto podemos identificar o número de onda e a frequência angular .
Passo 2
Identificar amplitude
.
Explicação rápida: amplitude é o valor máximo da deflexão transverse da corda, ou seja o coeficiente multiplicando a função seno.
Logo
Explicação rápida: amplitude é o valor máximo da deflexão transverse da corda, ou seja o coeficiente multiplicando a função seno.
Logo
Passo 3
Identificar número de onda
e frequência angular
.
O argumento padrão de uma onda progressiva é . Comparando com
obtemos
O argumento padrão de uma onda progressiva é
Breve comentário:
mede quantas oscilações cabem por unidade de comprimento;
mede quantas variações angulares ocorrem por segundo.
Passo 4
Determinar a frequência temporal
.
Fórmula usada: . Aqui
, portanto
Fórmula usada:
Explicação:
é o número de oscilações por segundo.
Passo 5
Determinar o comprimento de onda
.
Fórmula usada: . Com
,
Fórmula usada:
Comentário: comprimento de onda é a distância entre pontos sucessivos em fase.
Passo 6
Reescreveros valores já obtidos (síntese rápida):
Passo 7
Determinar velocidade de fase
.
Fórmula: .
Substituindo:
Fórmula:
Substituindo:
Comentário: velocidade de fase é a velocidade com que uma fase constante (por exemplo, um pico) viaja ao longo da corda.
Passo 8
Determinar a velocidade máxima transversal de um elemento da corda.
Para uma onda a velocidade transversal é
. O módulo máximo ocorre quando
, logo
Para uma onda
Substituindo
e
:
Passo 9
Preparar-se para calcular tensão e potência média: precisamos da massa por unidade de comprimento
em unidades CGS (
).
Dado: cada jarda da corda tem massa .
Fórmulas de conversão usadas:
Dado: cada jarda da corda tem massa
Fórmulas de conversão usadas:
Calcular massa de uma jarda em gramas:
Logo a massa por unidade de comprimento é
Comentário: em CGS a unidade de massa por comprimento é grama por centímetro.
Passo 10
Determinar a tensão
na corda a partir da relação entre velocidade de propagação e tensão.
Fórmula para ondas numa corda (pequenas transversas):
Fórmula para ondas numa corda (pequenas transversas):
Substituindo
e
:
Converter para newton (1 dyne =
N):
Breve observação: em CGS a tensão sai em dynes; a conversão para SI dá um valor pequeno em N porque a velocidade é muito baixa apesar da grande massa linear.
Passo 11
Determinar a potência média transportada pela onda.
Fórmula (derivada rápida):
Fórmula (derivada rápida):
- A velocidade transverse é
. - A inclinação é
. - Potência instantânea transmitida através de uma seção é
.
Substituindo e usando identidadee fazendo média temporal ( ) obtém-se a forma prática
Usando
e
chega-se à forma equivalente
Agora calcular numericamente com os valores já obtidos:
Calcular passo a passo:
Portanto
Executando a multiplicação obtém-se
Converter para watts (1 erg/s =
W):
Comentário: em CGS a potência deu erg/s; a conversão para SI fornece um valor em watts.