Uma corda oscila de acordo com a equação y(x, t)=10 sin (0,01 pi x) cos (0,02 pi t), onde as unidades estão no SI.
(a) [1 , 0 pontos ] Determine a amplitude e a velocidade das duas ondas (iguais, exceto pelo sentido de propagação) cuja superposição produz esta oscilação.
(b) [0,5 pontos ] Calcule a distância entre os nós.
(c) [0,5 pontos ] Calcule a velocidade de uma partícula da corda no ponto x=300 m.

Passo 1

O enunciado dá a oscilação de uma corda na forma
y(x,t)=10;sinl(0,01pi xr),cosl(0,02pi tr),
que é um modo normal de vibração (onda estacionária). Vamos usar a identidade de superposição
sin(kx)cos(omega t)=tfrac12l[sin(kx+omega t)+sin(kx-omega t)r]
para achar a amplitude de cada onda viajante e a velocidade de fase v=omega/k. Depois, vamos determinar a separação entre nós ( lambda/2) e a velocidade de partícula partial y/partial t no ponto x=300,m.

Passo 2

Identificamos o número de onda
k=0,01pi l[rad/mr]
e a frequência angular
omega=0,02pi l[rad/sr]
Aplicando
y=10,sin(kx)cos(omega t) =5l[sin(kx+omega t)+sin(kx-omega t)r],
vemos que cada onda viajante tem amplitude 5,m.

Passo 3

A velocidade de fase de cada onda é
v=omegak =0,02pi0,01pi=2 m/s

Passo 4

Os nós ocorrem em sin(kx)=0, isto é
kx=npi Rightarrow x=n,pik=n,(100; m)
A distância entre nós adjacentes vale
De<a x=pik=100 m

Passo 5

A velocidade de uma partícula é
vy=partial ypartial t =-10,omega,sin(kx),sin(omega t)
Em x=300,m temos sin(kx)=sin(3pi)=0, logo
vy(300,t)=0forall,t

Resposta

(a) Amplitude de cada onda viajante: 5,m; velocidade de fase: 2,m/s.
(b) Distância entre nós: 100,m.
(c) Velocidade da partícula em x=300,m: 0,m/s.

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