Um átomo de hidrogénio muonico é um átomo exótico em que o elétron do átomo de hidrogénio normal é substituído por um múon, uma partícula com a mesma carga do elétron, porém com massa 207 vezes maior. Determine a energia de ionização de um átomo de hidrogênio muônico.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a energia de ionização de um átomo de hidrogénio muónico, isto é, a energia necessária para arrancar o múon do estado fundamental do átomo (equivalente à energia absoluta do nível fundamental). Informações dadas e assumidas:
  • O múon tem a mesma carga do eletrão, mas massa 207 vezes a massa do eletrão: m_{\mu}=207\,m_{e}.
  • Vou usar a massa do protão aproximada por m_{p}=1836\,m_{e} (valor padrão).
  • No hidrogénio normal a energia de ligação (nível fundamental) é aproximadamente 13,598\\ \text{eV} (vou arredondar quando conveniente).
    Não foi pedido nenhum outro dado; vou proceder com estes.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): a energia dos níveis de um átomo hidrogenoide (um protão+partícula com carga -e) no modelo de Bohr/nível de Rydberg depende da massa reduzida do sistema. Se a partícula ligada tem massa m e o núcleo tem massa M, a massa reduzida é
\mu=\frac{mM}{m+M}.
A energia do nível n é proporcional a \mu. Para o nível fundamental n=1 do hidrogénio “normal” (com massa do eletrão m_{e}) temos
E_{1}^{(\text{H})}=-13{,}598\\ \text{eV}.
Para um átomo com massa reduzida \mu em vez de m_{e}, a energia do nível n=1 escala como
E_{1}=-\frac{\mu}{m_{e}}\;13{,}598\\ \text{eV}.
A energia de ionização (energia necessária para libertar a partícula) é o módulo dessa energia do estado fundamental, isto é I=|E_{1}|. Vou explicar: quanto maior a massa reduzida, mais “próxima” a órbita e maior a energia de ligação — no limite a partícula fica muito mais ligada.

Passo 3

Calcular a massa reduzida \mu para o sistema protão + múon. Substituindo m=m_{\mu}=207\,m_{e} e M=m_{p}=1836\,m_{e} na fórmula da massa reduzida:
\mu=\frac{m_{\mu}\,m_{p}}{m_{\mu}+m_{p}} =\frac{207\,m_{e}\times 1836\,m_{e}}{207\,m_{e}+1836\,m_{e}}.
Fatorando m_{e}:
\mu = m_{e}\,\frac{207\times 1836}{207+1836}.
Agora calculamos o quociente numérico:
207\times 1836 = 380\,052,
207+1836 = 2\,043,
logo
\frac{\mu}{m_{e}}=\frac{380\,052}{2\,043}=186{,}026444\ldots
Portanto
\mu \approx 186{,}026444\,m_{e}.

Passo 4

Calcular a energia do nível fundamental usando a escala com a massa reduzida. Pela fórmula do Passo 2:
|E_{1}|=\frac{\mu}{m_{e}}\;13{,}598\\ \text{eV}.
Substituindo \mu/m_{e}\approx 186{,}026444:
|E_{1}|\approx 186{,}026444\times 13{,}598\\ \text{eV}.
Faço a multiplicação em dois passos para ficar claro: primeiro o produto com a parte inteira,
13{,}598\times 186 = 2\,529{,}228\\ \text{eV},
depois a parte fracionária,
13{,}598\times 0{,}026444 \approx 0{,}3597\\ \text{eV}.
Somando,
|E_{1}|\approx 2\,529{,}228 + 0{,}3597 \approx 2\,529{,}5877\\ \text{eV}.

Passo 5

Arredondando de forma adequada e apresentando em unidades mais práticas:
|E_{1}|\approx 2\,529{,}6\\ \text{eV}\approx 2{,}53\\ \text{keV}.
Portanto a energia de ionização do átomo de hidrogénio muónico é cerca de 2{,}53\\ \text{keV}, ou seja, aproximadamente 186 vezes a energia de ionização do hidrogénio normal (porque \mu/m_{e}\approx 186).

Resposta

2\,529{,}6\\ \text{eV} \approx 2{,}53\\ \text{keV}

Exercícios relacionados