Um átomo de hidrogénio muonico é um átomo exótico em que o elétron do átomo de hidrogénio normal é substituído por um múon, uma partícula com a mesma carga do elétron, porém com massa 207 vezes maior. Determine a energia de ionização de um átomo de hidrogênio muônico.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a energia de ionização de um átomo de hidrogénio muónico, isto é, a energia necessária para arrancar o múon do estado fundamental do átomo (equivalente à energia absoluta do nível fundamental). Informações dadas e assumidas:
- O múon tem a mesma carga do eletrão, mas massa
vezes a massa do eletrão: . - Vou usar a massa do protão aproximada por
(valor padrão). - No hidrogénio normal a energia de ligação (nível fundamental) é aproximadamente
(vou arredondar quando conveniente).
Não foi pedido nenhum outro dado; vou proceder com estes.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): a energia dos níveis de um átomo hidrogenoide (um protão+partícula com carga
) no modelo de Bohr/nível de Rydberg depende da massa reduzida do sistema. Se a partícula ligada tem massa
e o núcleo tem massa
, a massa reduzida é
A energia do nível
é proporcional a
. Para o nível fundamental
do hidrogénio “normal” (com massa do eletrão
) temos
Para um átomo com massa reduzida
em vez de
, a energia do nível
escala como
A energia de ionização (energia necessária para libertar a partícula) é o módulo dessa energia do estado fundamental, isto é
. Vou explicar: quanto maior a massa reduzida, mais “próxima” a órbita e maior a energia de ligação — no limite a partícula fica muito mais ligada.
Passo 3
Calcular a massa reduzida
para o sistema protão + múon. Substituindo
e
na fórmula da massa reduzida:
Fatorando
:
Agora calculamos o quociente numérico:
logo
Portanto
Passo 4
Calcular a energia do nível fundamental usando a escala com a massa reduzida. Pela fórmula do Passo 2:
Substituindo
:
Faço a multiplicação em dois passos para ficar claro: primeiro o produto com a parte inteira,
depois a parte fracionária,
Somando,
Passo 5
Arredondando de forma adequada e apresentando em unidades mais práticas:
Portanto a energia de ionização do átomo de hidrogénio muónico é cerca de
, ou seja, aproximadamente
vezes a energia de ionização do hidrogénio normal (porque
).