Uma corda oscila no terceiro harmônico, de acordo com a equação y^prime = (0,70 m) sin [(pi3 m^-1) x] cos [(37 pi s^-1) t]. Quais são, respectivamente, o comprimento da corda e a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto x=1,3 m para t=11 / 7 s ?
a. 3,0 m e 0
b. 9 m e 34,53 m / s
c. nenhuma das demais alternativas
d. 9 me-34,53 m / s
e. 3,0 m e -34,53 m / s

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre ondas estacionárias em uma corda vibrando no terceiro harmônico. A gente precisa descobrir duas coisas: o comprimento total da corda e a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto específico $ x = 1,3 , m $ no instante $ t = \frac{11}{7} , s $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias, harmônicos e derivadas para encontrar a velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação dada:
y' = (0,70 , m) sin[(pi3 , m^-1) x] cos[(37 pi , s^-1) t]
Aqui, $ y’ $ representa a posição transversal da corda em função de $ x $ e $ t $. A equação está na forma de uma onda estacionária, que é uma combinação de duas ondas que se movem em sentidos opostos.

Passo 3

Comprimento da Corda:
Sabemos que a corda está vibrando no terceiro harmônico. A fórmula para os nós em uma corda fixa nas duas extremidades é:
L = n cdot lambda2
onde:
  • $ L $ é o comprimento da corda,
  • $ n $ é o número do harmônico (neste caso, 3),
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda.
Mas também, na onda estacionária, a relação entre o número de nós $ n $ e o comprimento de onda $ \lambda $ está relacionada à constante espacial na função seno da equação dada:
L
Sabemos que $ k = \frac{2\pi}{\lambda} $, então podemos encontrar $ \lambda $:
n
Agora, substituindo na fórmula do comprimento da corda:
lambda
Velocidade Transversal:
A velocidade transversal $ v $ de uma partícula na corda é a derivada da posição em relação ao tempo:
n
Vamos derivar a equação dada:
lambda
Derivando em relação a $ t $:
k = pi3 , m^-1
Agora, substituímos $ x = 1{,}3 , m $ e $ t = \frac{11}{7} , s $:
k = 2pilambda
Calculando os valores:
lambda
pi3 = 2pilambda implies lambda = 6 , m
Agora, substituindo:
L = n cdot lambda2 = 3 cdot 6 , m2 = 9 , m
Calculando os senos:
v
v = partial y'partial t
Então:
y' = 0,70 sin(pi3 x) cos(37pi t)

Resposta

A opção correta é:
e. $ 3{,}0 , m $ e $ -34{,}53 , m/s $

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