Uma corda oscila no terceiro harmônico, de acordo com a equação
. Quais são, respectivamente, o comprimento da corda e a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto
para
?
a.
e 0
b. 9 m e
c. nenhuma das demais alternativas
d.
e.
e
a.
b. 9 m e
c. nenhuma das demais alternativas
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre ondas estacionárias em uma corda vibrando no terceiro harmônico. A gente precisa descobrir duas coisas: o comprimento total da corda e a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto específico $ x = 1,3 , m $ no instante $ t = \frac{11}{7} , s $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias, harmônicos e derivadas para encontrar a velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação dada:
Aqui, $ y’ $ representa a posição transversal da corda em função de $ x $ e $ t $. A equação está na forma de uma onda estacionária, que é uma combinação de duas ondas que se movem em sentidos opostos.
Passo 3
Comprimento da Corda:
Sabemos que a corda está vibrando no terceiro harmônico. A fórmula para os nós em uma corda fixa nas duas extremidades é:
onde:
- $ L $ é o comprimento da corda,
- $ n $ é o número do harmônico (neste caso, 3),
- $ \lambda $ é o comprimento de onda.
Mas também, na onda estacionária, a relação entre o número de nós $ n $ e o comprimento de onda $ \lambda $ está relacionada à constante espacial na função seno da equação dada:
Sabemos que $ k = \frac{2\pi}{\lambda} $, então podemos encontrar $ \lambda $:
Agora, substituindo na fórmula do comprimento da corda:
Velocidade Transversal:
A velocidade transversal $ v $ de uma partícula na corda é a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos derivar a equação dada:
Derivando em relação a $ t $:
Agora, substituímos $ x = 1{,}3 , m $ e $ t = \frac{11}{7} , s $:
Calculando os valores:
Agora, substituindo:
Calculando os senos:
Então:
Resposta
A opção correta é:
e. $ 3{,}0 , m $ e $ -34{,}53 , m/s $