Sabendo que sobre os eixos y e z encontram-se fios condutores que conduzem correntes de 100 A e 200 A , nos sentidos e +a z, respectivamente. Determine, para o vácuo:
0 valor do fluxo magnético que atravessa a superfície definida por: x=0 ; 2 <= y <= 3 e 1 <= z <= 8.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de magnetismo envolvendo fios condutores e queremos descobrir o fluxo magnético através de uma superfície específica. Vamos usar conceitos de Campo Magnético e Fluxo Magnético para resolver isso. Precisaremos lembrar da Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético criado por correntes elétricas e da definição de fluxo magnético.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os fios e as correntes:
Fio 1: Está sobre o eixo y, conduz uma corrente de 100,A no sentido -ay (ou seja, para baixo no eixo y).
Fio 2: Está sobre o eixo z, conduz uma corrente de 200,A no sentido +az (para cima no eixo z).
A superfície pela qual queremos calcular o fluxo magnético é definida por x = 0, 2 <= y <= 3 e 1 <= z <= 8.
Passo 3
Vamos calcular o campo magnético gerado por cada fio na região da superfície e, em seguida, determinar o fluxo magnético total.
Campo Magnético de um Fio Infinito:
A expressão para o campo magnético $ \overrightarrow{B} $ criado por um fio infinito é dada por:
B
Onde:
$ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo ( B = mu0 I2pi r phi ),
$ I $ é a corrente,
$ r $ é a distância do ponto ao fio,
$ \hat{\phi} $ é o vetor unitário na direção circular ao redor do fio.
Passo 4
Vamos analisar cada fio separadamente.
Para o Fio 1 (eixo y):
A distância $ r $ de qualquer ponto na superfície $ x = 0 $ ao fio que está no eixo y é simplesmente $ r = \sqrt{x^2 + z^2} = \sqrt{0 + z^2} = z $.
O campo magnético $ \overrightarrow{B}_1 $ será circular ao redor do fio y. No plano $ x = 0 $, a direção do campo será no sentido das coordenadas $ \overrightarrow{a_z} $ ou $ -\overrightarrow{a_z} $, dependendo da posição.
Para o Fio 2 (eixo z):
A distância $ r $ de qualquer ponto na superfície $ x = 0 $ ao fio no eixo z é $ r = \sqrt{x^2 + y^2} = y $.
O campo magnético $ \overrightarrow{B}_2 $ será circular ao redor do fio z. No plano $ x = 0 $, a direção do campo será no sentido das coordenadas $ -\overrightarrow{a_y} $ ou $ \overrightarrow{a_y} $, dependendo da posição.
Passo 5
Agora, vamos calcular o fluxo magnético $ \Phi $, que é dado por:
Phi
Onde $ d\overrightarrow{S} $ é o vetor área da superfície. Como a superfície está no plano $ x = 0 $, o vetor área será na direção $ \overrightarrow{a_x} $.
Para o Fio 1:
O campo magnético $ \overrightarrow{B}_1 $ está na direção $ \overrightarrow{a_z} $ ou $ -\overrightarrow{a_z} $, enquanto $ d\overrightarrow{S} $ está na direção $ \overrightarrow{a_x} $. Como são perpendiculares, o produto escalar $ \overrightarrow{B}_1 \cdot d\overrightarrow{S} = 0 $.
Para o Fio 2:
Similarmente, o campo magnético $ \overrightarrow{B}_2 $ está na direção $ \overrightarrow{a_y} $ ou $ -\overrightarrow{a_y} $, também perpendicular a $ d\overrightarrow{S} $. Então, $ \overrightarrow{B}_2 \cdot d\overrightarrow{S} = 0 $.
Passo 6
Como ambos os campos magnéticos são perpendiculares ao vetor área da superfície, os fluxos magnéticos individuais são zero. Portanto, o fluxo magnético total $ \Phi $ é:
Phi
Resposta
O fluxo magnético que atravessa a superfície definida é zero.