Um sistema bloco-mola realiza um MHS com frequência 16 Hz . Se o ângulo de fase é
rad e a posição do bloco é dada por
, qual é a razāo entre a energia cinética e a energia potencial no instante
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema bloco-mola fazendo Movimento Harmônico Simples (MHS) com frequência de 16 Hz. A posição do bloco é dada por $ x = x_m \cos (\omega t + \phi) $, onde $ \phi = \frac{\pi}{3} $ rad. Precisamos descobrir a razão entre a energia cinética e a energia potencial no instante $ t = 2,8 $ segundos. Para isso, vamos precisar entender um pouco de MHS, calcular a frequência angular e as energias no tempo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a frequência $ f $ em frequência angular $ \omega $. Sabemos que $ \omega = 2\pi f $. Aqui, $ f = 16 $ Hz.
Passo 3
Agora, vamos achar a posição $ x(t) $ no tempo $ t = 2,8 $ s usando a fórmula dada:
Substituindo os valores:
Vamos calcular o argumento do cosseno:
Como o cosseno é uma função periódica com período $ 2\pi $, podemos simplificar:
Como $ \cos(89\pi + \theta) = \cos(\theta) $ (porque $ \cos $ se repete a cada $ 2\pi $), podemos ignorar os múltiplos de $ \pi $:
Passo 4
Para encontrar a velocidade $ v(t) $, derivamos a posição em relação ao tempo:
Então,
Passo 5
Vamos calcular a energia cinética $ K(t) $. A fórmula é:
Substituindo $ v(t) $:
Passo 6
Agora, vamos calcular a energia potencial $ U(t) $. A fórmula é:
Sabemos que $ k = m \omega^2 $, então:
Passo 7
Finalmente, vamos achar a razão entre a energia cinética e a potencial:
Calculando o valor numérico:
Resposta
A razão entre a energia cinética e a energia potencial no instante $ t = 2,8 $ s é aproximadamente 1,25.