Um sistema bloco-mola realiza um MHS com frequência 16 Hz . Se o ângulo de fase é pi / 3 rad e a posição do bloco é dada por x=xm cos (omega t+ phi), qual é a razāo entre a energia cinética e a energia potencial no instante t=2,8 s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema bloco-mola fazendo Movimento Harmônico Simples (MHS) com frequência de 16 Hz. A posição do bloco é dada por $ x = x_m \cos (\omega t + \phi) $, onde $ \phi = \frac{\pi}{3} $ rad. Precisamos descobrir a razão entre a energia cinética e a energia potencial no instante $ t = 2,8 $ segundos. Para isso, vamos precisar entender um pouco de MHS, calcular a frequência angular e as energias no tempo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a frequência $ f $ em frequência angular $ \omega $. Sabemos que $ \omega = 2\pi f $. Aqui, $ f = 16 $ Hz.
f

Passo 3

Agora, vamos achar a posição $ x(t) $ no tempo $ t = 2,8 $ s usando a fórmula dada:
x(t)
Substituindo os valores:
t = 2,8
Vamos calcular o argumento do cosseno:
x(t) = xm cos (omega t + phi)
x(2,8) = xm cos (32pi times 2,8 + pi3)
Como o cosseno é uma função periódica com período $ 2\pi $, podemos simplificar:
32pi times 2,8 = 89,6pi
Como $ \cos(89\pi + \theta) = \cos(\theta) $ (porque $ \cos $ se repete a cada $ 2\pi $), podemos ignorar os múltiplos de $ \pi $:
89,6pi + pi3 = 268,8pi3 + pi3 = 269,8pi3

Passo 4

Para encontrar a velocidade $ v(t) $, derivamos a posição em relação ao tempo:
v(t)
Então,
v(t) = dxdt = -xm omega sin (omega t + phi)

Passo 5

Vamos calcular a energia cinética $ K(t) $. A fórmula é:
K(t)
Substituindo $ v(t) $:
K(t) = 12 m v(t)^2

Passo 6

Agora, vamos calcular a energia potencial $ U(t) $. A fórmula é:
U(t)
Sabemos que $ k = m \omega^2 $, então:
U(t) = 12 k x(t)^2

Passo 7

Finalmente, vamos achar a razão entre a energia cinética e a potencial:
KU = 12 m xm^2 (32pi)^2 sin^2(0,8pi3)12 m xm^2 (32pi)^2 cos^2(0,8pi3) = sin^2(0,8pi3)cos^2(0,8pi3) = tan^2(0,8pi3)
Calculando o valor numérico:
0,8pi3 approx 0,8378 , rad
tan(0,8378) approx 1,118
tan^2(0,8378) approx 1,25

Resposta

A razão entre a energia cinética e a energia potencial no instante $ t = 2,8 $ s é aproximadamente 1,25.

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