Uma corda \overline{A B}, que mede 18 cm , corta uma corda \overline{C D} de tal forma que os segmentos determinados sobre \overline{C D} medem x e 2x cm, respectivamente. Sabendo que a corda \overline{C D} mede 12 cm , calcule as medidas dos segmentos determinados sobre a corda \overline{A B}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • A corda \overline{A B} tem comprimento \,18\\ \text{cm}\,.
  • A corda \overline{C D} tem comprimento \,12\\ \text{cm}\,.
  • A corda \overline{A B} corta a corda \overline{C D} em um ponto que divide \overline{C D} em segmentos de medidas \,x e \,2x (ou seja, os dois pedaços resultantes medem \,x e \,2x).
  • Pergunta: quais são as medidas dos dois segmentos em que a interseção divide a corda \overline{A B}?

Passo 2

Qual regra geométrica vamos usar (explicação didática): quando duas cordas de um círculo se interceptam em um ponto interior, o produto dos comprimentos dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos comprimentos dos segmentos da outra corda.
Explicando por que isso vale (intuição e ideia do demonstração por semelhança de triângulos): suponha que as cordas \overline{A B} e \overline{C D} se cruzam no ponto P. Considere os triângulos \triangle A P C e \triangle D P B. Pelo ângulo inscrito formado pelas cordas, esses triângulos têm dois ângulos iguais correspondentes, então são semelhantes. Da semelhança segue a razão entre lados correspondentes, que leva à igualdade
AP\cdot PB = CP\cdot PD.
Ou seja: (segmento 1 de uma corda) × (segmento 2 da mesma corda) = (segmento 1 da outra corda) × (segmento 2 da outra corda).

Passo 3

Primeiro encontro x usando o comprimento total de \overline{C D}. Como os pedaços medem \,x e \,2x, tem-se
x + 2x = 12.
Isso é
3x = 12,
logo
x = 4.
Portanto os segmentos em \overline{C D} têm medidas \,4\\ \text{cm} e \,8\\ \text{cm}.

Passo 4

Agora aplico a fórmula do produto dos segmentos às cordas que se cruzam. Chamo y a medida de um dos segmentos em \overline{A B} e, como \overline{A B} tem 18\\ \text{cm} no total, o outro segmento tem medida \,18 - y.
Pelo teorema dos produtos:
y(18-y) = 4\cdot 8.
Calculo o lado direito:
4\cdot 8 = 32.
Logo a equação é
y(18-y) = 32.

Passo 5

Resolvo a equação quadrática obtida. Primeiro expandindo:
18y - y^2 = 32.
Passando tudo para um lado:
y^2 - 18y + 32 = 0.
Aqui a=1, b=-18, c=32. Calculo o discriminante:
\Delta = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4\cdot 1\cdot 32 = 324 - 128 = 196.
A raiz quadrada do discriminante é
\sqrt{\Delta} = \sqrt{196} = 14.
As soluções pela fórmula quadrática são
y = \frac{18 \pm 14}{2}.
Portanto
y_1 = \frac{18+14}{2} = \frac{32}{2} = 16,
y_2 = \frac{18-14}{2} = \frac{4}{2} = 2.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: os dois segmentos de \overline{A B} são \,16\\ \text{cm} e \,2\\ \text{cm}. Eles somam \,16+2=18 (confirma o comprimento total) e o produto é \,16\cdot 2 = 32, que coincide com o produto \,4\cdot 8 das partes de \overline{C D}. Tudo verifica.

Resposta

16\\ \text{cm}
2\\ \text{cm}

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