Uma corda \overline{A B}, que mede 18 cm , corta uma corda \overline{C D} de tal forma que os segmentos determinados sobre \overline{C D} medem x e 2x cm, respectivamente. Sabendo que a corda \overline{C D} mede 12 cm , calcule as medidas dos segmentos determinados sobre a corda \overline{A B}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
A corda \overline{A B} tem comprimento \,18\\ \text{cm}\,.
A corda \overline{C D} tem comprimento \,12\\ \text{cm}\,.
A corda \overline{A B} corta a corda \overline{C D} em um ponto que divide \overline{C D} em segmentos de medidas \,x e \,2x (ou seja, os dois pedaços resultantes medem \,x e \,2x).
Pergunta: quais são as medidas dos dois segmentos em que a interseção divide a corda \overline{A B}?
Passo 2
Qual regra geométrica vamos usar (explicação didática): quando duas cordas de um círculo se interceptam em um ponto interior, o produto dos comprimentos dos segmentos de uma corda é igual ao produto dos comprimentos dos segmentos da outra corda.
Explicando por que isso vale (intuição e ideia do demonstração por semelhança de triângulos): suponha que as cordas \overline{A B} e \overline{C D} se cruzam no ponto P. Considere os triângulos \triangle A P C e \triangle D P B. Pelo ângulo inscrito formado pelas cordas, esses triângulos têm dois ângulos iguais correspondentes, então são semelhantes. Da semelhança segue a razão entre lados correspondentes, que leva à igualdade
AP\cdot PB = CP\cdot PD.
Ou seja: (segmento 1 de uma corda) × (segmento 2 da mesma corda) = (segmento 1 da outra corda) × (segmento 2 da outra corda).
Passo 3
Primeiro encontro x usando o comprimento total de \overline{C D}. Como os pedaços medem \,x e \,2x, tem-se
x + 2x = 12.
Isso é
3x = 12,
logo
x = 4.
Portanto os segmentos em \overline{C D} têm medidas \,4\\ \text{cm} e \,8\\ \text{cm}.
Passo 4
Agora aplico a fórmula do produto dos segmentos às cordas que se cruzam. Chamo y a medida de um dos segmentos em \overline{A B} e, como \overline{A B} tem 18\\ \text{cm} no total, o outro segmento tem medida \,18 - y.
Pelo teorema dos produtos:
y(18-y) = 4\cdot 8.
Calculo o lado direito:
4\cdot 8 = 32.
Logo a equação é
y(18-y) = 32.
Passo 5
Resolvo a equação quadrática obtida. Primeiro expandindo:
Interpretação final e checagem rápida: os dois segmentos de \overline{A B} são \,16\\ \text{cm} e \,2\\ \text{cm}. Eles somam \,16+2=18 (confirma o comprimento total) e o produto é \,16\cdot 2 = 32, que coincide com o produto \,4\cdot 8 das partes de \overline{C D}. Tudo verifica.