Por um ponto P , distante 18 cm do centro de uma circunferência, traça-se uma secante que determina na circunferência uma corda
\overline{A B}, que mede 8 cm . Se o comprimento do raio da circunferência é 12 cm , determine:
a) o comprimento do segmento da secante traçado do ponto P
b) O comprimento do segmento externo dessa secante

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades indicadas.
Dados:
OP=18\,\text{cm}
r=12\,\text{cm}
AB=8\,\text{cm}
Aqui O é o centro da circunferência, P é um ponto externo a O (distância OP), e \overline{AB} é a corda determinada pela secante que passa por P.
Perguntas:
a) Determinar o comprimento do segmento da secante traçado a partir do ponto P. (Vou interpretar isto como o comprimento de PB, isto é, a distância de P até a interseção mais afastada com a circunferência.)
b) Determinar o comprimento do segmento externo dessa secante (isto é, PA, a parte da secante entre P e a interseção mais próxima).

Passo 2

Primeiro vamos achar a distância do centro O até a reta que contém a corda AB. Seja M o ponto médio de \overline{AB}. Em qualquer círculo a relação entre raio, distância do centro à reta da corda e meio-comprimento da corda é:
AB = 2\sqrt{r^{2}-OM^{2}}.
Explicando a fórmula: r é o raio da circunferência, OM é a distância perpendicular do centro O até a reta que contém a corda, e \sqrt{r^{2}-OM^{2}} é metade do comprimento da corda (metade de AB). Aqui AB e r são conhecidos, então isolamos OM.
Calculemos:
8 = 2\sqrt{12^{2}-OM^{2}}
4 = \sqrt{144-OM^{2}}
16 = 144-OM^{2}
OM^{2}=128
OM= \sqrt{128}=8\sqrt{2}\,\text{cm}.

Passo 3

Agora consideramos o triângulo retângulo formado por O, M e P. O ponto M está na reta da secante e OM é perpendicular à corda; portanto o segmento PM (distância de P até o ponto médio da corda sobre a reta da secante) satisfaz o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo OPM:
OP^{2}=OM^{2}+PM^{2}.
Isolando PM:
PM=\sqrt{OP^{2}-OM^{2}}=\sqrt{18^{2}-(8\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{324-128}=\sqrt{196}=14\,\text{cm}.

Passo 4

Agora relacionamos PM com PA e PB. Como M é o ponto médio de \overline{AB}, temos
AM=MB=\frac{AB}{2}=\frac{8}{2}=4\,\text{cm}.
Na reta da secante, a ordem dos pontos é P A M B (pois P é externo). Assim
PM = PA + AM.
Logo
PA = PM - AM = 14 - 4 = 10\,\text{cm}.
E
PB = PA + AB = 10 + 8 = 18\,\text{cm}.

Passo 5

Verificação (método alternativo e útil para prova: potência de um ponto). A potência de P relativamente à circunferência dá:
PA\cdot PB = OP^{2}-r^{2}.
Substituindo OP e r:
PA\cdot PB = 18^{2}-12^{2}=324-144=180.
Seja PA=x. Então PB=x+8 e
x(x+8)=180 \Rightarrow x^{2}+8x-180=0.
Resolvendo a quadrática:
\Delta=8^{2}+4\cdot180=64+720=784=(28)^{2},
x=\frac{-8+28}{2}=10\\ (\text{descartamos a raiz negativa}).
Logo PA=10\,\text{cm} e PB=18\,\text{cm}, coincidindo com o resultado anterior.

Passo 6

Resumo rápido e dica de prova: ou você usa a geometria do triângulo retângulo com o meio da corda (mais visual), ou aplica diretamente a potência do ponto e resolve a quadrática (mais algébrica). Ambas são válidas e rápidas; memorize a fórmula PA\cdot PB = OP^{2}-r^{2} para questões parecidas — ela salva tempo!

Resposta

a) 18\,\text{cm}
b) 10\,\text{cm}

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