A empresa Beta LTDA realizou um empréstimo de
240.000,00
1,5 %$ ao mês, no regime de capitalização simples. A taxa de juros anual equivalente à taxa de remuneração da aplicação financeira escolhida pela empresa é.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Foi tomado um empréstimo no valor de
(esse é o capital, citado no enunciado). - Enquanto não usados, os recursos foram aplicados numa aplicação que remunera à taxa de
ao mês, no regime de capitalização simples. - Pergunta: “A taxa de juros anual equivalente à taxa de remuneração da aplicação financeira escolhida pela empresa é…” — ou seja, qual é a taxa anual equivalente a essa taxa mensal de
no regime de capitalização simples?
Observação: o valor do capital (
) aparece no enunciado, mas para encontrar a taxa equivalente ele não é necessário — o que importa é a taxa mensal e o regime de capitalização (simples).
Passo 2
Entendendo a fórmula do regime de capitalização simples (mini-aula): em juros simples, o montante
obtido a partir de um capital
após
períodos de duração da taxa
por período é dado por
Aqui:
-
é o montante (capital + juros) após períodos; -
é o capital inicial; -
é a taxa de juros por período (em forma decimal); -
é o número de períodos.
A ideia intuitiva: em juros simples os juros são proporcionais ao tempo, não são capitalizados sobre juros anteriores — por isso aparece
multiplicando
.
Passo 3
Definimos as variáveis que vamos usar para achar a taxa anual equivalente:
- Seja
a taxa mensal em forma decimal. Do enunciado, . - Queremos a taxa anual equivalente
(em forma decimal) tal que o fator de acumulação em 12 meses seja o mesmo no regime de juros simples.
No regime simples, o fator de acumulação em
meses é
. Para 12 meses devemos ter o mesmo fator se usarmos uma única taxa anual
aplicada uma vez ao ano, isto é:
Esse é o princípio da equivalência de taxas no regime simples: o aumento percentual total em 12 meses deve coincidir.
Passo 4
Agora fazemos a álgebra para isolar
. A partir de
subtraímos
dos dois lados e obtemos
Ou seja, em juros simples a taxa anual equivalente é simplesmente 12 vezes a taxa mensal.
Passo 5
Substituímos o valor numérico de
:
Convertendo para porcentagem:
Passo 6
Checagem rápida usando o capital informado (só para ver que bate): com
,
- Montante em 12 meses usando a taxa mensal em juros simples:
- Montante usando a taxa anual
aplicada uma vez:
Os dois montantes coincidem, confirmando que a taxa anual equivalente em juros simples é
.