Quantos meses são necessários para que uma aplicação triplique de valor, no regime de capitalização simples? Assuma uma taxa de juros de 6 \% a.a.

Passo 1

O enunciado pergunta quantos meses são necessários para que uma aplicação triplique de valor.
Informações dadas:
  • A aplicação deve ficar com valor final igual a 3 vezes o capital inicial.
  • A taxa de juros é de 6\% ao ano, ou seja, 6\% a.a.
  • O regime é de capitalização simples.
  • A incógnita pedida é o tempo em meses necessários para a aplicação triplicar.

Passo 2

Conceito e fórmula (explicação didática): em capitalização simples os juros são proporcionais ao capital, à taxa e ao tempo — não há juros sobre juros. A fórmula que relaciona montante, capital, taxa e tempo é
M = C\,(1 + r\,t),
onde:
  • M é o montante (valor final),
  • C é o capital inicial (valor aplicado),
  • r é a taxa de juros por unidade de tempo (em forma decimal),
  • t é o tempo medido na mesma unidade usada em r.
Explicando cada parte: r\,t é a fração total de juros aplicada ao capital; multiplicando por C obtemos os juros absolutos; somando C obtemos o montante. Exemplo rápido: se r=0,10 (10% ao ano) e t=2 anos, então M=C(1+0,10\cdot2)=C(1+0,20)=1,2C.

Passo 3

Aplicando ao problema: queremos que M=3C (triplicar). Substituindo na fórmula:
3C = C\,(1 + r\,t).
Como C\neq0, podemos dividir ambos os lados por C:
3 = 1 + r\,t.

Passo 4

Passo algébrico para achar t em anos. Primeiro convertemos a taxa anual para decimal:
r = 6\% = 0,06.
Agora isolamos t:
t = \frac{3-1}{r} = \frac{2}{0,06}.
Para calcular sem calculadora: multiplica-se numerador e denominador por 100:
\frac{2}{0,06} = \frac{200}{6} = \frac{100}{3}.
Logo
t = \frac{100}{3}\\ \text{anos} = 33,\,\overline{3}\\ \text{anos}.

Passo 5

Converter anos para meses: 1 ano tem 12 meses, então
t_{\text{meses}} = \frac{100}{3}\cdot 12 = \frac{1200}{3} = 400.
Portanto são necessários 400 meses. Em termos mais palpáveis, 33 anos e 4 meses correspondem a 33\cdot 12 + 4 = 396 + 4 = 400 meses.

Passo 6

Verificação alternativa (mesmas contas em unidades mensais): taxa mensal é r_{\text{m}}=0,06/12=0,005. Se n é o número de meses, a fórmula fica
3 = 1 + r_{\text{m}}\,n \Rightarrow n = \frac{2}{0,005} = 400,
confirmação do resultado anterior.

Passo 7

Resumo final e incentivo: com juros simples a taxa não se “compõe”, por isso o crescimento é linear e demorou bastante para triplicar a aplicação a uma taxa anual de 6\%. Você conseguiu ver duas maneiras (em anos e em meses) que dão o mesmo resultado — isso ajuda a checar erros na prova. Vai com calma, revisa estes passos e já vai praticando mais um ou dois exemplos semelhantes para fixar.

Resposta

400 meses

Exercícios relacionados