Uma corda possui densidade \mu=0,100 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} e está sujeita a uma tensão de cerca de 200 N . Nela se propaga uma onda cuja amplitude é de 1,20 \mathrm{~cm} e cujo comprimento de onda é de 2,50 \mathrm{~m}. Determine:
(a) a velocidade e frequência angular da onda;
(b) a potência média transportada pela onda na corda.
(R: (a) 44,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; 112 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ;(\mathrm{b}) 4,06 \mathrm{~W} ).
Passo 1
Enunciado e dados (o que nos deram e o que pedem):\n
A corda tem densidade linear \mu=0,100\\ \mathrm{kg/m} e está sob tensão T\approx 200\\ \mathrm{N}. Na corda propaga-se uma onda com amplitude A=1,20\\ \mathrm{cm} e comprimento de onda \lambda=2,50\\ \mathrm{m}. As perguntas são:\n
(a) Determinar a velocidade da onda e a frequência angular da onda.\n
(b) Determinar a potência média transportada pela onda na corda.\n
Dados convertidos para o SI e anotados para uso:\n \mu=0,100\\ \mathrm{kg/m}\n T=200\\ \mathrm{N}\n A=1,20\\ \mathrm{cm}=0,0120\\ \mathrm{m}\n \lambda=2,50\\ \mathrm{m}\n
Passo 2
Cálculo da velocidade da onda — fórmula, significado e verificação de unidades.\n
Fórmula usada: a velocidade de uma onda transverse numa corda tensa é dada por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Explicação didática: T (tensão) é a força que puxa a corda e tende a restaurar a posição; \mu é a massa por comprimento (inércia por metro). Quanto maior T mais rápido vai a onda; quanto maior \mu mais lenta fica. Dimensionalmente, T/\mu tem unidade \mathrm{(N)/(kg/m)}=\mathrm{(kg\;m/s^2)/(kg/m)}=\mathrm{m^2/s^2}, portanto a raiz dá \mathrm{m/s}, consistente.\n
Agora substituímos os valores:
v=\sqrt{\frac{200}{0,100}}=\sqrt{2000}.
Calculando a raiz:
v\approx 44,72135955\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente para duas casas significativas relevantes:
v\approx 44,7\\ \mathrm{m/s}.
Passo 3
Cálculo da frequência e da frequência angular — relações e cálculos passo a passo.\n
Relações fundamentais: a frequência (ciclos por segundo) é
Dedução e explicação da fórmula da potência média transportada por uma onda numa corda (aula mastigada).\n
Modelo da onda (onda harmônica transversal):
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),
onde A é a amplitude, k é o número de onda e \omega a frequência angular. O número de onda relaciona-se com \lambda por
k=\frac{2\pi}{\lambda}.
A potência instantânea transmitida através de uma seção da corda é dada por (fórmula física que relaciona a força de tensão e as velocidades locais)
Aqui \partial y/\partial x mede a inclinação local da corda (como a tensão gera componente vertical de força) e \partial y/\partial t é a velocidade vertical local — o produto dá a taxa instantânea de trabalho por unidade de tempo (potência). Vamos calcular essas derivadas:\n
Derivadas:
A potência instantânea oscila no tempo com \cos^{2}. A potência média no tempo (sobre um período) usa a média de \cos^{2}, que é 1/2. Assim a potência média é
\overline{P}=\frac{1}{2}T k\omega A^{2}.
Agora simplificamos esta expressão escrevendo k=\omega/v (porque v=\omega/k) e usando T=\mu v^{2} (rearranjo de v=\sqrt{T/\mu}). Primeiro substituindo k=\omega/v:
Como T/v=\mu v (pois T=\mu v^{2}), obtemos a forma muito utilizada:
\overline{P}=\frac{1}{2}\mu v \omega^{2} A^{2}.
Essa é uma forma prática: \mu (inércia), v (velocidade de transporte), \omega^{2} (quanto mais rápida a oscilação maior a potência) e A^{2} (potência cresce com o quadrado da amplitude). Tudo faz sentido fisicamente.
Passo 5
Cálculo numérico da potência média usando a fórmula \overline{P}=\dfrac{1}{2}\mu v \omega^{2} A^{2}.\n
Usamos os valores calculados: \mu=0,100\\ \mathrm{kg/m}, v\approx 44,72135955\\ \mathrm{m/s}, A=0,0120\\ \mathrm{m} e \omega\approx 112,365\\ \mathrm{rad/s}.\n
Primeiro, calcule \omega^{2}:
Calcule passo a passo:\n (0,0120)^{2}=0,000144.\n \frac{1}{2}\cdot 0,100=0,050.\n 0,050\cdot 44,72135955\approx 2,23606798.\n 2,23606798\cdot 12633,0936\approx 2822,32.\n 2822,32\cdot 0,000144\approx 4,0639\\ \mathrm{W}.\n
Arredondando com consistência com os dados:
\overline{P}\approx 4,06\\ \mathrm{W}.
Passo 6
Resumo final dos resultados calculados (pronto para decorar na prova). Você já sabe como chegar neles: velocidade pela raiz v=\sqrt{T/\mu}, frequência por f=v/\lambda, frequência angular por \omega=2\pi f e potência média por \overline{P}=\tfrac{1}{2}\mu v\omega^{2}A^{2}. Vai dar certo — respira, revisa esses passos e treina alguns exemplos parecidos para ganhar confiança!