Uma onda harmônica é produzida em uma corda fazendo-a oscilar para cima e para baixo com uma amplitude de 0,020 \mathrm{~m} e uma frequência igual a 2,00 \mathrm{~Hz}. A velocidade com que a onda se propaga na corda é de \mathrm{v}=7,60 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. No instante \mathrm{t}=0, a extremidade que a onda é produzida possui um deslocamento nulo e se move no sentido y negativo. A massa especifica \mu da corda é igual a 0,122 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}.
(a) Para essa onda, determine: a frequência angular, o período, o comprimento de onda, e o número de onda.
(b) Determine a constante de fase e escreva a função de onda que descreve essa onda harmônica.
(c) Determine o módulo da velocidade vertical máxima da corda.
(d) Qual a tensão aplicada na corda?
(e) Qual é a potência média transmitida na corda?
(f) Caso a amplitude da onda diminua pela metade, mantendo-se os demais valores, quanto vale a potência média?
(g) O máximo peso que a corda suporta sem arrebentar corresponde a erguer uma massa de até 3,00 \mathrm{~kg}. Qual é, então, a velocidade de propagação máxima de uma onda através desse corda?
(R: (a) 12,6 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ; 0,50 \mathrm{~s} ; 3,8 \mathrm{~m} ; 1,65 \mathrm{~m}^{-1};
(b) \delta=0 \mathrm{rad} ; \mathrm{y}(\mathrm{x}, \mathrm{t})=(0,020 \mathrm{~m}) sen \left[\left(1,65 \mathrm{~m}^{-1}\right) \mathrm{x}-(12,6 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t}\right]; (c) 0,252 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; (d) 7,05 \mathrm{~N}; (e) 0,029 \mathrm{~W}; (f) 7,36 \mathrm{~mW}; (g) 15,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ).

Passo 1

O enunciado dá uma onda harmônica numa corda com as seguintes informações e pede várias coisas. Vou listar tudo bem claro.
Dados do enunciado:
  • Amplitude: A=0,020\\ \mathrm{m}.
  • Frequência: f=2,00\\ \mathrm{Hz}.
  • Velocidade de propagação da onda: v=7,60\\ \mathrm{m/s}.
  • No instante t=0, a extremidade onde a onda é gerada tem deslocamento nulo e move-se no sentido y negativo.
  • Massa linear da corda: \mu=0,122\\ \mathrm{kg/m}.
  • Aceleração da gravidade (para parte (g)): usarei g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}.
Perguntas:
(a) Determine: frequência angular, período, comprimento de onda e número de onda.
(b) Determine a constante de fase e escreva a função de onda y(x,t).
(c) Determine o módulo da velocidade vertical máxima da corda.
(d) Qual a tensão aplicada na corda?
(e) Qual é a potência média transmitida na corda?
(f) Se a amplitude diminuir pela metade (mantendo o resto), quanto vale a potência média?
(g) Se o máximo peso suportado corresponde a levantar uma massa de 3,00\\ \mathrm{kg}, qual a velocidade de propagação máxima na corda?

Passo 2

Primeiro calculamos as quantidades básicas pedidas em (a): frequência angular \omega, período T, comprimento de onda \lambda e número de onda k.
  • Frequência angular: a relação é \omega=2\pi f. Aqui
\omega = 2\pi \cdot 2{,}00 = 4\pi \\ \mathrm{rad/s}.
Numericamente 4\pi \approx 12{,}566\\ \mathrm{rad/s}. Arredondando convenientemente: \omega \approx 12{,}6\\ \mathrm{rad/s}.
  • Período: a relação é T=\dfrac{1}{f}. Assim
T = \frac{1}{2{,}00} = 0{,}50\\ \mathrm{s}.
  • Comprimento de onda: use \lambda = \dfrac{v}{f}. Portanto
\lambda = \frac{7{,}60}{2{,}00} = 3{,}80\\ \mathrm{m}.
  • Número de onda: por definição k=\dfrac{2\pi}{\lambda}. Então
k=\frac{2\pi}{3{,}80}\\ \mathrm{m^{-1}} \approx 1{,}6535\\ \mathrm{m^{-1}}.
Arredondando: k\approx 1{,}65\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 3

Agora (b): determinar a constante de fase \delta e escrever a função de onda. Primeiro explico a forma geral que usaremos e depois aplico as condições iniciais.
Forma usual de uma onda viajante progressiva (indo no sentido +x) é
y(x,t) = A \sin\!\bigl(kx - \omega t + \delta\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (deslocamento máximo),
  • k é o número de onda (rad/m),
  • \omega é a frequência angular (rad/s),
  • \delta é a constante de fase (rad).
Usamos essa forma pois as informações indicam uma onda gerada numa extremidade que se propaga pela corda.
Condições iniciais no problema (peguei do enunciado):
  • Em t=0 e na extremidade emissora (vou tomar essa extremidade como x=0), há deslocamento nulo:
y(0,0)=0.
  • Ainda em t=0 a extremidade se move no sentido y negativo, ou seja a velocidade vertical inicial é negativa:
\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{(0,0)} < 0.
Aplique y(0,0)=0 na forma geral:
y(0,0)=A\sin(\delta)=0 \quad\Rightarrow\quad \sin(\delta)=0.
As soluções de \sin(\delta)=0 são \delta = n\pi com n inteiro, isto é \delta=0,\pi,2\pi,\dots.
Agora calcule a velocidade vertical:
\frac{\partial y}{\partial t} = -A\omega \cos(kx-\omega t + \delta).
Em (x,t)=(0,0) isto dá
\left.\frac{\partial y}{\partial t}\right|_{(0,0)} = -A\omega \cos(\delta).
Queremos este valor negativo. Como A>0 e \omega>0, a condição -A\omega\cos(\delta)<0 implica \cos(\delta)>0. Entre as possibilidades \delta=0 e \delta=\pi encontradas antes, \cos(0)=1>0 enquanto \cos(\pi)=-1<0. Portanto a escolha correta é
\delta = 0.
Assim a função de onda, substituindo A, k e \omega calculados, é
y(x,t) = (0{,}020\\ \mathrm{m})\\ \sin\!\bigl( (1{,}65\\ \mathrm{m^{-1}})\,x - (12{,}6\\ \mathrm{rad/s})\,t \bigr).

Passo 4

Resposta para (c): velocidade vertical máxima (módulo) de um ponto da corda.
Explico: a velocidade vertical de um ponto da corda é v_y(x,t)=\partial y/\partial t. Para nossa onda
v_y(x,t) = -A\omega \cos(kx-\omega t + \delta).
O módulo máximo de v_y ocorre quando |\cos(\cdot)|=1. Portanto
\max |v_y| = A\omega.
Substituindo A=0{,}020\\ \mathrm{m} e \omega=12{,}566\\ \mathrm{rad/s},
\max |v_y| = 0{,}020 \times 12{,}566 \approx 0{,}25133\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando: \max |v_y| \approx 0{,}252\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Resposta para (d): tensão na corda. Vou explicar a fórmula e aplicá-la.
Para ondas transversais numa corda com massa linear \mu, a velocidade de propagação satisfaz
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde T é a tensão na corda. Invertendo:
T = \mu v^2.
Substituindo \mu=0{,}122\\ \mathrm{kg/m} e v=7{,}60\\ \mathrm{m/s}:
T = 0{,}122 \times (7{,}60)^2 = 0{,}122 \times 57{,}76 \approx 7{,}04672\\ \mathrm{N}.
Arredondando: T \approx 7{,}05\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Resposta para (e): potência média transmitida pela onda.
Vou deduzir a expressão usada. A potência instantânea que atravessa uma seção da corda pode ser escrita (a partir da tensão fazendo trabalho) como
P(t) = -T \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right).
Para a onda y(x,t)=A\sin(kx-\omega t) (com \delta=0) calcula-se a média temporal e obtém-se a potência média
\langle P \rangle = \frac{1}{2}\,\mu\,v\,\omega^2 A^2.
Esta fórmula é padrão para potência média transportada por uma onda transversal numa corda com densidade linear \mu.
Agora aplico os números:
  • Primeiro \omega^2 = (12{,}566)^2 \approx 157{,}914\\ \mathrm{rad^2/s^2}.
  • A^2 = (0{,}020)^2 = 0{,}0004\\ \mathrm{m^2}.
  • \mu v = 0{,}122 \times 7{,}60 = 0{,}9272\\ \mathrm{kg/(s)}.
Então
\langle P \rangle = \tfrac{1}{2}\times 0{,}9272 \times 157{,}914 \times 0{,}0004 \approx 0{,}02928\\ \mathrm{W}.
Arredondando: \langle P \rangle \approx 0{,}029\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Resposta para (f): potência média quando a amplitude diminui pela metade.
Observação útil: na fórmula \langle P\rangle = \tfrac{1}{2}\mu v \omega^2 A^2 a potência média é proporcional a A^2. Assim, se A passa para A' = A/2, a nova potência \langle P'\rangle será
\langle P'\rangle = \langle P\rangle \left(\frac{A'}{A}\right)^2 = \langle P\rangle \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{\langle P\rangle}{4}.
Substituindo \langle P\rangle \approx 0{,}02928\\ \mathrm{W},
\langle P'\rangle \approx \frac{0{,}02928}{4} \approx 0{,}00732\\ \mathrm{W} = 7{,}32\\ \mathrm{mW}.

Passo 8

Resposta para (g): velocidade de propagação máxima quando a corda suporta um peso máximo equivalente a levantar 3{,}00\\ \mathrm{kg}.
Se o máximo peso é correspondente a uma massa m_{\max}=3{,}00\\ \mathrm{kg}, a máxima tensão suportada é
T_{\max} = m_{\max} g = 3{,}00 \times 9{,}80 = 29{,}4\\ \mathrm{N}.
Usando a relação v_{\max}=\sqrt{T_{\max}/\mu},
v_{\max} = \sqrt{\frac{29{,}4}{0{,}122}} \approx \sqrt{240{,}9836} \approx 15{,}524\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando: v_{\max}\approx 15{,}5\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) \omega=12{,}6\\ \mathrm{rad/s};\\ T=0{,}50\\ \mathrm{s};\\ \lambda=3{,}8\\ \mathrm{m};\\ k=1{,}65\\ \mathrm{m^{-1}}
(b) \delta=0\\ \mathrm{rad};\\ y(x,t)=(0{,}020\\ \mathrm{m})\sin\!\bigl((1{,}65\\ \mathrm{m^{-1}})x-(12{,}6\\ \mathrm{rad/s})t\bigr)
(c) \max|v_y|=0{,}252\\ \mathrm{m/s}
(d) T=7{,}05\\ \mathrm{N}
(e) \langle P\rangle=0{,}029\\ \mathrm{W}
(f) \langle P'\rangle=7{,}32\\ \mathrm{mW}
(g) v_{\max}=15{,}5\\ \mathrm{m/s}

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