Uma onda harmônica é produzida em uma corda fazendo-a oscilar para cima e para baixo com uma amplitude de 0,020 \mathrm{~m} e uma frequência igual a 2,00 \mathrm{~Hz}. A velocidade com que a onda se propaga na corda é de \mathrm{v}=7,60 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. No instante \mathrm{t}=0, a extremidade que a onda é produzida possui um deslocamento nulo e se move no sentido y negativo. A massa especifica \mu da corda é igual a 0,122 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}.
(a) Para essa onda, determine: a frequência angular, o período, o comprimento de onda, e o número de onda.
(b) Determine a constante de fase e escreva a função de onda que descreve essa onda harmônica.
(c) Determine o módulo da velocidade vertical máxima da corda.
(d) Qual a tensão aplicada na corda?
(e) Qual é a potência média transmitida na corda?
(f) Caso a amplitude da onda diminua pela metade, mantendo-se os demais valores, quanto vale a potência média?
(g) O máximo peso que a corda suporta sem arrebentar corresponde a erguer uma massa de até 3,00 \mathrm{~kg}. Qual é, então, a velocidade de propagação máxima de uma onda através desse corda?
(R: (a) 12,6 \mathrm{rad} / \mathrm{s} ; 0,50 \mathrm{~s} ; 3,8 \mathrm{~m} ; 1,65 \mathrm{~m}^{-1};
(b) \delta=0 \mathrm{rad} ; \mathrm{y}(\mathrm{x}, \mathrm{t})=(0,020 \mathrm{~m}) sen \left[\left(1,65 \mathrm{~m}^{-1}\right) \mathrm{x}-(12,6 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t}\right]; (c) 0,252 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; (d) 7,05 \mathrm{~N}; (e) 0,029 \mathrm{~W}; (f) 7,36 \mathrm{~mW}; (g) 15,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ).
Passo 1
O enunciado dá uma onda harmônica numa corda com as seguintes informações e pede várias coisas. Vou listar tudo bem claro.
Dados do enunciado:
Amplitude: A=0,020\\ \mathrm{m}.
Frequência: f=2,00\\ \mathrm{Hz}.
Velocidade de propagação da onda: v=7,60\\ \mathrm{m/s}.
No instante t=0, a extremidade onde a onda é gerada tem deslocamento nulo e move-se no sentido y negativo.
Massa linear da corda: \mu=0,122\\ \mathrm{kg/m}.
Aceleração da gravidade (para parte (g)): usarei g=9,80\\ \mathrm{m/s^2}.
Perguntas:
(a) Determine: frequência angular, período, comprimento de onda e número de onda.
(b) Determine a constante de fase e escreva a função de onda y(x,t).
(c) Determine o módulo da velocidade vertical máxima da corda.
(d) Qual a tensão aplicada na corda?
(e) Qual é a potência média transmitida na corda?
(f) Se a amplitude diminuir pela metade (mantendo o resto), quanto vale a potência média?
(g) Se o máximo peso suportado corresponde a levantar uma massa de 3,00\\ \mathrm{kg}, qual a velocidade de propagação máxima na corda?
Passo 2
Primeiro calculamos as quantidades básicas pedidas em (a): frequência angular \omega, período T, comprimento de onda \lambda e número de onda k.
Frequência angular: a relação é \omega=2\pi f. Aqui
Agora (b): determinar a constante de fase \delta e escrever a função de onda. Primeiro explico a forma geral que usaremos e depois aplico as condições iniciais.
Forma usual de uma onda viajante progressiva (indo no sentido +x) é
y(x,t) = A \sin\!\bigl(kx - \omega t + \delta\bigr),
onde:
A é a amplitude (deslocamento máximo),
k é o número de onda (rad/m),
\omega é a frequência angular (rad/s),
\delta é a constante de fase (rad).
Usamos essa forma pois as informações indicam uma onda gerada numa extremidade que se propaga pela corda.
Condições iniciais no problema (peguei do enunciado):
Em t=0 e na extremidade emissora (vou tomar essa extremidade como x=0), há deslocamento nulo:
y(0,0)=0.
Ainda em t=0 a extremidade se move no sentido y negativo, ou seja a velocidade vertical inicial é negativa:
Queremos este valor negativo. Como A>0 e \omega>0, a condição -A\omega\cos(\delta)<0 implica \cos(\delta)>0. Entre as possibilidades \delta=0 e \delta=\pi encontradas antes, \cos(0)=1>0 enquanto \cos(\pi)=-1<0. Portanto a escolha correta é
\delta = 0.
Assim a função de onda, substituindo A, k e \omega calculados, é
Arredondando: \langle P \rangle \approx 0{,}029\\ \mathrm{W}.
Passo 7
Resposta para (f): potência média quando a amplitude diminui pela metade.
Observação útil: na fórmula \langle P\rangle = \tfrac{1}{2}\mu v \omega^2 A^2 a potência média é proporcional a A^2. Assim, se A passa para A' = A/2, a nova potência \langle P'\rangle será