Prove que
Dica: A chamada Série de Dirichlet pode ser útil
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma igualdade envolvendo uma integral e funções matemáticas como o fatorial e a zeta de Riemann. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais envolvendo séries de Dirichlet. Para resolver, vamos precisar usar séries alternadas e propriedades da função zeta.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que queremos resolver:
A ideia é simplificar essa fração usando uma série, para facilitar a integração.
Passo 3
Vamos reescrever o denominador
como uma série. Sabemos que:
Essa é uma série geométrica alternada válida para
.
Passo 4
Agora, substituímos essa série na integral:
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (desde que a série converja):
Passo 5
A integral que ficou é uma integral de Gamma:
Lembrando que
.
Então, substituindo de volta:
Passo 6
A soma que temos agora é a série alternada de Dirichlet, que sabemos que é:
Subscrevendo isso na expressão anterior:
Resposta
Portanto,