Prove que
integral0^infty x^s1+exp (x) d x=s!(1-2^-s) zetaR(s+1),, Re s>0
Dica: A chamada Série de Dirichlet pode ser útil
sumn=1^infty(-1)^n+1 1n^s+1=(1-12^s) zetaR(s+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar uma igualdade envolvendo uma integral e funções matemáticas como o fatorial e a zeta de Riemann. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais envolvendo séries de Dirichlet. Para resolver, vamos precisar usar séries alternadas e propriedades da função zeta.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na integral que queremos resolver:
integral0^infty x^s1+exp(x) dx
A ideia é simplificar essa fração usando uma série, para facilitar a integração.

Passo 3

Vamos reescrever o denominador 1 + e^x como uma série. Sabemos que:
11 + e^x = 11 + (-1) cdot e^x = sumn=1^infty (-1)^n+1 e^-n x
Essa é uma série geométrica alternada válida para x > 0.

Passo 4

Agora, substituímos essa série na integral:
integral0^infty x^s1+exp(x) dx = integral0^infty x^s ( sumn=1^infty (-1)^n+1 e^-n x ) dx
Podemos trocar a ordem da soma e da integral (desde que a série converja):
= sumn=1^infty (-1)^n+1 integral0^infty x^s e^-n x dx

Passo 5

A integral que ficou é uma integral de Gamma:
integral0^infty x^s e^-n x dx = Gamma(s+1)n^s+1
Lembrando que Gamma(s+1) = s!.
Então, substituindo de volta:
= sumn=1^infty (-1)^n+1 s!n^s+1 = s! sumn=1^infty (-1)^n+1 1n^s+1

Passo 6

A soma que temos agora é a série alternada de Dirichlet, que sabemos que é:
sumn=1^infty (-1)^n+1 1n^s+1 = (1 - 12^s) zetaR(s+1)
Subscrevendo isso na expressão anterior:
s! (1 - 12^s) zetaR(s+1)

Resposta

Portanto,
integral0^infty x^s1+exp(x) dx = s! (1 - 2^-s) zetaR(s+1)

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