A velocidade de uma onda transversal em uma corda é 170 \mathrm{~m} / \mathrm{s} quando a tensão da corda é 120 N . Qual deve ser o valor da tensão para que a velocidade da onda aumente para 190 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar exatamente os números fornecidos):
  • Velocidade inicial da onda: v_1 = 170\\ \mathrm{m/s}.
  • Tensão inicial da corda: T_1 = 120\\ \mathrm{N}.
  • Velocidade desejada da onda: v_2 = 190\\ \mathrm{m/s}.
O que se pede:
  • Determinar a tensão T_2 que deve ser aplicada à corda para que a velocidade da onda passe de v_1 para v_2.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Para uma onda transversal em uma corda homogênea, a velocidade da onda é dada pela relação
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde:
  • v é a velocidade da onda (em \mathrm{m/s});
  • T é a tensão na corda (em \mathrm{N});
  • \mu é a massa por unidade de comprimento (densidade linear) da corda (em \mathrm{kg/m}).
Explicando a fórmula de forma simples: quanto maior a tensão T, maior a força que “puxa” a corda e, portanto, mais rápida fica a propagação da perturbação; quanto maior a massa por metro \mu, mais “pesada” é a corda por unidade de comprimento e mais lenta fica a onda. A relação é uma raiz quadrada porque a velocidade cresce com a raiz de T dividido por \mu.

Passo 3

Eliminação da densidade linear \mu usando as duas condições (não precisamos conhecer \mu explicitamente):
  • Aplicando a fórmula para os dois estados:
v_1=\sqrt{\frac{T_1}{\mu}},\qquad v_2=\sqrt{\frac{T_2}{\mu}}.
  • Fazendo a razão das duas equações:
\frac{v_2}{v_1}=\sqrt{\frac{T_2}{T_1}}.
  • Elevando ao quadrado ambos os lados para eliminar a raiz:
\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^{2}=\frac{T_2}{T_1}.
  • Isolando T_2:
T_2 = T_1\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^{2}.
Esse passo é muito útil na prova: quando uma grandeza depende da raiz quadrada de outra, trabalhar com razões e elevar ao quadrado simplifica e geralmente elimina parâmetros desconhecidos.

Passo 4

Substituição dos números e cálculo exato (passo a passo, sem pular etapas):
  • Calcular a razão das velocidades:
\frac{v_2}{v_1}=\frac{190}{170}=\frac{19}{17}.
  • Elevar ao quadrado:
\left(\frac{v_2}{v_1}\right)^{2}=\left(\frac{19}{17}\right)^{2}=\frac{361}{289}.
  • Multiplicar por T_1:
T_2 = 120\cdot\frac{361}{289}=\frac{120\cdot361}{289}=\frac{43320}{289}\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Interpretação numérica e observação prática:
  • A fração \dfrac{43320}{289} é o valor exato da tensão necessária. Para uso prático (e em provas costuma-se dar uma resposta numérica aproximada), converte-se para decimal e arredonda-se com sentido físico:
  • O valor decimal aproximado será apresentado na seção de resposta final abaixo. Força para você — já estamos quase lá!

Resposta

T_2 \approx 149,9\\ \mathrm{N}

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