A função
, com grandezas dadas no S.I., descreve uma onda em uma corda esticada. Qual é a velocidade transversal de um ponto da corda no instante em que o ponto possui deslocamento
?
Passo 1
O enunciado dá a função de onda
com grandezas no S.I., e pede: qual é a velocidade transversal de um ponto da corda no instante em que esse ponto possui deslocamento
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Amplitude:
. - Função de fase:
. - Não foi dado um
ou um específico — apenas a condição . - A pergunta pede a velocidade transversal instantânea (ou seja,
) quando .
Passo 2
Entender o que é velocidade transversal e como calculá‑la: a velocidade transversal de um ponto da corda é a variação temporal do deslocamento daquele ponto, isto é a derivada parcial de
em relação a
:
Para derivar compostas como
usa‑se a regra da cadeia: se
e
, então
Aqui
.
Passo 3
Aplicar a derivada à função dada. Como
, tem‑se
. Logo,
Simplificando os sinais e os números:
Passo 4
Usar a condição
para obter o(s) valor(es) possível(eis) da fase
. A relação é
Resolver
. As soluções gerais são
Isto significa que um mesmo deslocamento
ocorre em duas fases por cada período:
e
.
Passo 5
Calcular
nessas duas possibilidades. Sabendo os valores trigonométricos básicos:
Portanto, ao substituir em
obtemos duas possibilidades:
Passo 6
Simplificar simbolicamente e calcular numericamente (aproximação): a expressão simbólica é
Cálculo numérico aproximado:
Logo as duas velocidades possíveis são aproximadamente
e
.
Passo 7
Interpretação física e observação importante: a mesma posição vertical
ocorre duas vezes por período — uma vez quando o ponto está subindo (velocidade positiva) e outra quando está descendo (velocidade negativa). Sem informação adicional sobre o instante (por exemplo o sinal de
ou o tempo
), não é possível escolher entre os dois sinais; portanto ambas as soluções são corretas dependendo do instante.