A função \mathrm{y}(\mathrm{x}, \mathrm{t})=0,30 \cos (\pi \mathrm{x}-30 \pi \mathrm{t}), com grandezas dadas no S.I., descreve uma onda em uma corda esticada. Qual é a velocidade transversal de um ponto da corda no instante em que o ponto possui deslocamento \mathrm{y}=+0,15 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado dá a função de onda
\mathrm{y}(\mathrm{x},\mathrm{t})=0,30\cos\!\big(\pi \mathrm{x}-30\pi \mathrm{t}\big),
com grandezas no S.I., e pede: qual é a velocidade transversal de um ponto da corda no instante em que esse ponto possui deslocamento \mathrm{y}=+0,15\\ \text{m}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Amplitude: A=0,30\\ \text{m}.
  • Função de fase: \varphi(\mathrm{x},\mathrm{t})=\pi \mathrm{x}-30\pi \mathrm{t}.
  • Não foi dado um \mathrm{x} ou um \mathrm{t} específico — apenas a condição \mathrm{y}=+0,15\\ \text{m}.
  • A pergunta pede a velocidade transversal instantânea (ou seja, \partial \mathrm{y}/\partial \mathrm{t}) quando \mathrm{y}=+0,15\\ \text{m}.

Passo 2

Entender o que é velocidade transversal e como calculá‑la: a velocidade transversal de um ponto da corda é a variação temporal do deslocamento daquele ponto, isto é a derivada parcial de \mathrm{y} em relação a \mathrm{t}:
v_\perp(\mathrm{x},\mathrm{t})=\frac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mathrm{t}}.
Para derivar compostas como \cos(\varphi(\mathrm{x},\mathrm{t})) usa‑se a regra da cadeia: se \mathrm{y}=A\cos(u) e u=u(\mathrm{t}), então
\frac{d\mathrm{y}}{d\mathrm{t}}=-A\sin(u)\cdot\frac{du}{d\mathrm{t}}.
Aqui u=\varphi(\mathrm{x},\mathrm{t})=\pi \mathrm{x}-30\pi \mathrm{t}.

Passo 3

Aplicar a derivada à função dada. Como \varphi=\pi \mathrm{x}-30\pi \mathrm{t}, tem‑se \partial\varphi/\partial\mathrm{t}=-30\pi. Logo,
v_\perp(\mathrm{x},\mathrm{t})=\frac{\partial \mathrm{y}}{\partial \mathrm{t}} =-0,30\sin\!\big(\varphi\big)\cdot\frac{\partial\varphi}{\partial\mathrm{t}} =-0,30\sin\!\big(\pi \mathrm{x}-30\pi \mathrm{t}\big)\cdot(-30\pi).
Simplificando os sinais e os números:
v_\perp(\mathrm{x},\mathrm{t})=0,30\cdot30\pi\;\sin\!\big(\pi \mathrm{x}-30\pi \mathrm{t}\big)=9\pi\sin\!\big(\pi \mathrm{x}-30\pi \mathrm{t}\big).

Passo 4

Usar a condição \mathrm{y}=+0,15\\ \text{m} para obter o(s) valor(es) possível(eis) da fase \varphi. A relação é
0,15=0,30\cos\!\big(\varphi\big)\quad\Rightarrow\quad \cos\!\big(\varphi\big)=\frac{0,15}{0,30}=0,5.
Resolver \cos\!\big(\varphi\big)=0,5. As soluções gerais são
\varphi = \pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.
Isto significa que um mesmo deslocamento \mathrm{y}=+0,15 ocorre em duas fases por cada período: \varphi=\frac{\pi}{3}+2\pi n e \varphi=-\frac{\pi}{3}+2\pi n.

Passo 5

Calcular \sin(\varphi) nessas duas possibilidades. Sabendo os valores trigonométricos básicos:
\sin\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\!\big(-\tfrac{\pi}{3}\big)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto, ao substituir em v_\perp=9\pi\sin(\varphi) obtemos duas possibilidades:
v_\perp=9\pi\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{ou}\quad v_\perp=9\pi\cdot\Big(-\frac{\sqrt{3}}{2}\Big).

Passo 6

Simplificar simbolicamente e calcular numericamente (aproximação): a expressão simbólica é
v_\perp=\pm\frac{9\pi\sqrt{3}}{2}\\ \text{m/s}.
Cálculo numérico aproximado:
\frac{9\pi\sqrt{3}}{2}\approx\frac{9\cdot3,14159265\cdot1,7320508}{2}\approx24,49\\ \text{m/s}.
Logo as duas velocidades possíveis são aproximadamente +24,49\\ \text{m/s} e -24,49\\ \text{m/s}.

Passo 7

Interpretação física e observação importante: a mesma posição vertical \mathrm{y}=+0,15\\ \text{m} ocorre duas vezes por período — uma vez quando o ponto está subindo (velocidade positiva) e outra quando está descendo (velocidade negativa). Sem informação adicional sobre o instante (por exemplo o sinal de \partial\mathrm{y}/\partial\mathrm{t} ou o tempo \mathrm{t}), não é possível escolher entre os dois sinais; portanto ambas as soluções são corretas dependendo do instante.

Resposta

\displaystyle v_\perp=+\dfrac{9\pi\sqrt{3}}{2}\\ \text{m/s}\approx+24,49\\ \text{m/s}
\displaystyle v_\perp=-\dfrac{9\pi\sqrt{3}}{2}\\ \text{m/s}\approx-24,49\\ \text{m/s}

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