4.61 Conhecendo-se
, a força em função do tempo, para um movimento retilíneo, a segunda lei de Newton fornece
, a aceleração em funçăo do tempo. Podemos então integrar
para obter
e
. Contudo, suponha que em vez disso você conheça
. a) A força resultante sobre um corpo que se move ao longo do cixo
é igual a
. Use a segunda lei de Newton escrita como
e faça duas integraçôes para mostrar que
. b) Mostre que a segunda lei de Newton pode ser escrita como
. Deduza a mesma expressão obtida na parte (a) usando essa forma da segunda lei de Newton fazendo uma integração.
Passo 1
O enunciado dá duas situações relacionadas à segunda lei de Newton e pede duas coisas. Lista clara do que foi dado e do que se pede:
- Dados: a força resultante sobre um corpo em movimento ao longo do eixo
é
onde
e
são constantes positivas. A velocidade inicial é
em
e a posição inicial é
.
- Perguntas:
(a) Usando a forma(onde é a velocidade; aqui vou identificar ), faça duas integrações para mostrar que (b) Mostre que a segunda lei pode ser escrita como e, usando essa forma, deduza novamente a mesma expressão obtida em (a).
Passo 2
Primeira integração (encontrar a relação entre
e
) — explicando passo a passo.
Partimos de
e da segunda lei em sua forma usual:
Como vamos identificar
, substituímos e obtemos a equação diferencial da velocidade:
Esta é uma equação diferencial separável. “Separável” significa que podemos colocar todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro. Fazemos:
Agora integramos ambos os lados. Vou usar limites: quando
a velocidade é
; quando o tempo é
a velocidade é
. A integral do lado esquerdo é elementar:
Calcule as integrais: a primitiva de
é
, e a integral do lado direito é
. Assim
Compute a diferença:
Se quiser, isolando
temos
Mas não precisamos obrigatoriamente desse
explícito para chegar à expressão pedida; o importante foi a relação diferencial que encontramos.
Passo 3
Segunda integração (usar
para obter
) — método direto e didático.
Sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
Queremos integrar para obter
. Uma forma muito prática é usar a relação entre
e
que já isolámos na Passo 2:
Substitua este
na expressão
:
Agora integramos ambos os lados entre as condições iniciais: quando
tem-se
; quando a velocidade é
a posição é
. Assim
A integral do lado esquerdo é
. A do lado direito é um logaritmo natural:
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos
que é exatamente a expressão pedida na parte (a).
Passo 4
Parte (b) — mostrar a forma alternativa
(explicando o porquê) e usá-la para obter a mesma expressão.
Começamos da forma usual da segunda lei:
Aqui
é a velocidade; escrevemos
para simplificar a notação. Aplicamos a regra da cadeia para a derivada
: como
é função de
e
é função de
, temos
Mas
. Portanto
Multiplicando por
obtemos a forma alternativa da segunda lei:
(Isto coincide com a forma pedida
se identificarmos
.) Esta forma é muito útil quando a força está dada em função de
, porque ela elimina o tempo e relaciona diretamente força, velocidade e posição.
Passo 5
Usando
para deduzir a expressão final.
Substituímos a força dada
na forma alternativa:
Se
podemos dividir por
(se
a discussão é trivial e consistente com o resultado limite), obtendo uma equação separável em
e
:
Integramos com os limites: quando
temos
; quando a posição é
a velocidade é
:
As integrais dão:
Isolando
obtemos novamente
que coincide com o resultado obtido na parte (a).
Resposta
(a)
(b)
\n