4.61 Conhecendo-se F(t), a força em função do tempo, para um movimento retilíneo, a segunda lei de Newton fornece a(t), a aceleração em funçăo do tempo. Podemos então integrar a(t) para obter v(t) e x(t). Contudo, suponha que em vez disso você conheça F(v). a) A força resultante sobre um corpo que se move ao longo do cixo O x é igual a -C v^{2}. Use a segunda lei de Newton escrita como \Sigma F=m d u / d t e faça duas integraçôes para mostrar que x-x_{0}=(m / C) \ln \left(v_{0} / v\right). b) Mostre que a segunda lei de Newton pode ser escrita como \sum F=m u d v / d x. Deduza a mesma expressão obtida na parte (a) usando essa forma da segunda lei de Newton fazendo uma integração.

Passo 1

O enunciado dá duas situações relacionadas à segunda lei de Newton e pede duas coisas. Lista clara do que foi dado e do que se pede:
  • Dados: a força resultante sobre um corpo em movimento ao longo do eixo Ox é
\sum F = -C v^{2},
onde C e m são constantes positivas. A velocidade inicial é \,v_{0}\, em t=t_{0} e a posição inicial é x_{0}.
  • Perguntas:
    (a) Usando a forma \sum F = m\, d u / d t (onde u é a velocidade; aqui vou identificar u(t)=v(t)), faça duas integrações para mostrar que x-x_{0}=\frac{m}{C}\ln\!\left(\frac{v_{0}}{v}\right).(b) Mostre que a segunda lei pode ser escrita como \sum F = m\,u\,\frac{dv}{dx},e, usando essa forma, deduza novamente a mesma expressão obtida em (a).

Passo 2

Primeira integração (encontrar a relação entre v e t) — explicando passo a passo.
Partimos de \sum F = -C v^{2} e da segunda lei em sua forma usual:
\sum F = m\frac{d u}{d t}.
Como vamos identificar u(t)=v(t), substituímos e obtemos a equação diferencial da velocidade:
m\frac{dv}{dt} = -C v^{2}.
Esta é uma equação diferencial separável. “Separável” significa que podemos colocar todos os termos em v de um lado e todos os termos em t do outro. Fazemos:
\frac{dv}{dt} = -\frac{C}{m} v^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{v^{2}} = -\frac{C}{m}\,dt.
Agora integramos ambos os lados. Vou usar limites: quando t=t_{0} a velocidade é v=v_{0}; quando o tempo é t a velocidade é v. A integral do lado esquerdo é elementar:
\int_{v_{0}}^{v}\frac{dv}{v^{2}} = \int_{t_{0}}^{t} -\frac{C}{m}\,dt.
Calcule as integrais: a primitiva de v^{-2} é -v^{-1}, e a integral do lado direito é -\dfrac{C}{m}(t-t_{0}). Assim
\left[-\frac{1}{v}\right]_{v_{0}}^{v} \;=\; -\frac{C}{m}(t-t_{0}).
Compute a diferença:
-\frac{1}{v} + \frac{1}{v_{0}} = -\frac{C}{m}(t-t_{0}).
Se quiser, isolando v(t) temos
\frac{1}{v} = \frac{1}{v_{0}} + \frac{C}{m}(t-t_{0}) \quad\Longrightarrow\quad v(t) = \frac{v_{0}}{1 + \dfrac{C v_{0}}{m}(t-t_{0})}.
Mas não precisamos obrigatoriamente desse v(t) explícito para chegar à expressão pedida; o importante foi a relação diferencial que encontramos.

Passo 3

Segunda integração (usar v para obter x) — método direto e didático.
Sabemos que a velocidade é a derivada da posição:
v = \frac{dx}{dt}.
Queremos integrar para obter x-x_{0}. Uma forma muito prática é usar a relação entre dv e dt que já isolámos na Passo 2:
\frac{dv}{dt} = -\frac{C}{m} v^{2} \quad\Rightarrow\quad dt = -\frac{m}{C}\,\frac{dv}{v^{2}}.
Substitua este dt na expressão dx = v\,dt:
dx = v\left(-\frac{m}{C}\,\frac{dv}{v^{2}}\right) = -\frac{m}{C}\,\frac{dv}{v}.
Agora integramos ambos os lados entre as condições iniciais: quando v=v_{0} tem-se x=x_{0}; quando a velocidade é v a posição é x. Assim
\int_{x_{0}}^{x} dx = -\frac{m}{C}\int_{v_{0}}^{v}\frac{dv}{v}.
A integral do lado esquerdo é x-x_{0}. A do lado direito é um logaritmo natural:
x-x_{0} = -\frac{m}{C}\left[\ln v\right]_{v_{0}}^{v} = -\frac{m}{C}\big(\ln v - \ln v_{0}\big).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln a - \ln b = \ln(a/b), obtemos
x-x_{0} = -\frac{m}{C}\ln\!\left(\frac{v}{v_{0}}\right) = \frac{m}{C}\ln\!\left(\frac{v_{0}}{v}\right),
que é exatamente a expressão pedida na parte (a).

Passo 4

Parte (b) — mostrar a forma alternativa \sum F = m u\,\dfrac{dv}{dx} (explicando o porquê) e usá-la para obter a mesma expressão.
Começamos da forma usual da segunda lei:
\sum F = m\frac{d u}{dt}.
Aqui u é a velocidade; escrevemos u=v para simplificar a notação. Aplicamos a regra da cadeia para a derivada \dfrac{dv}{dt}: como v é função de x e x é função de t, temos
\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx}\,\frac{dx}{dt}.
Mas \dfrac{dx}{dt}=v. Portanto
\frac{dv}{dt} = v\frac{dv}{dx}.
Multiplicando por m obtemos a forma alternativa da segunda lei:
\sum F = m\frac{dv}{dt} = m v\frac{dv}{dx}.
(Isto coincide com a forma pedida \sum F = m u\,\dfrac{dv}{dx} se identificarmos u=v.) Esta forma é muito útil quando a força está dada em função de v, porque ela elimina o tempo e relaciona diretamente força, velocidade e posição.

Passo 5

Usando \sum F = m v\,\dfrac{dv}{dx} para deduzir a expressão final.
Substituímos a força dada \sum F = -C v^{2} na forma alternativa:
m v\frac{dv}{dx} = -C v^{2}.
Se v\neq 0 podemos dividir por v (se v=0 a discussão é trivial e consistente com o resultado limite), obtendo uma equação separável em v e x:
m\frac{dv}{dx} = -C v \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{v} = -\frac{C}{m}\,dx.
Integramos com os limites: quando x=x_{0} temos v=v_{0}; quando a posição é x a velocidade é v:
\int_{v_{0}}^{v}\frac{dv}{v} = -\frac{C}{m}\int_{x_{0}}^{x}dx.
As integrais dão:
\ln\!\left(\frac{v}{v_{0}}\right) = -\frac{C}{m}(x-x_{0}).
Isolando x-x_{0} obtemos novamente
x-x_{0} = -\frac{m}{C}\ln\!\left(\frac{v}{v_{0}}\right) = \frac{m}{C}\ln\!\left(\frac{v_{0}}{v}\right),
que coincide com o resultado obtido na parte (a).

Resposta

(a) x-x_{0}=\dfrac{m}{C}\ln\!\left(\dfrac{v_{0}}{v}\right)
(b) \displaystyle \sum F = m\,u\,\frac{dv}{dx}\n \displaystyle x-x_{0}=\dfrac{m}{C}\ln\!\left(\dfrac{v_{0}}{v}\right)

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