Duas ondas senoidais de mesma frequência, amplitudes y_{1 m}=5,0 \mathrm{~mm} e y_{2 m}=7,0 \mathrm{~mm}, se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada; elas produzem uma onda resultante com uma amplitude de 9,0 \mathrm{~mm}. A constante de fase da onda com amplitude de 5,0 \mathrm{~mm} é 0.
Qual a constante de fase da onda resultante? Forneça apenas valores numéricos da resposta em graus.
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado dá duas ondas senoidais de mesma frequência que se propagam no mesmo sentido. As informações relevantes são:
y_{1m}=5{,}0\\ \text{mm}
y_{2m}=7{,}0\\ \text{mm}
y_{rm}=9{,}0\\ \text{mm}
A constante de fase da onda com amplitude 5{,}0\\ \text{mm} é 0. A pergunta é: qual é a constante de fase da onda resultante? Devemos fornecer apenas um valor numérico em graus.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): quando somamos duas ondas senoidais de mesma frequência podemos representar cada onda por um “fasor” (um vetor no plano complexo) com módulo igual à amplitude e ângulo igual à sua fase. A amplitude da onda resultante y_{rm} está dada por:
y_{rm}^2 = y_{1m}^2 + y_{2m}^2 + 2\,y_{1m}\,y_{2m}\cos\Delta\varphi
onde \Delta\varphi é a diferença de fase entre as duas ondas ( \Delta\varphi=\varphi_2-\varphi_1). Aqui cada símbolo significa:
  • y_{1m}: amplitude da onda 1;
  • y_{2m}: amplitude da onda 2;
  • y_{rm}: amplitude resultante;
  • \varphi_1,\varphi_2: constantes de fase das ondas 1 e 2;
  • \Delta\varphi: diferença de fase entre as ondas.
Também a fase da onda resultante \varphi_r pode ser obtida somando as componentes real e imaginária dos fasores:
\tan\varphi_r=\frac{y_{1m}\sin\varphi_1+y_{2m}\sin\varphi_2}{y_{1m}\cos\varphi_1+y_{2m}\cos\varphi_2}.
Aqui \varphi_r é o ângulo do fasor resultante medido a partir do mesmo referencial de fases.

Passo 3

Aplicando os dados ao primeiro resultado (encontrar \Delta\varphi usando a amplitude resultante). Como \varphi_1=0, temos \Delta\varphi=\varphi_2. Substituímos os valores:
9{,}0^2 = 5{,}0^2 + 7{,}0^2 + 2\cdot5{,}0\cdot7{,}0\cos\varphi_2.
Calcule cada termo:
81 = 25 + 49 + 70\cos\varphi_2.
Simplificando,
81-74 = 70\cos\varphi_2
7 = 70\cos\varphi_2
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\cos\varphi_2 = 0{,}1.

Passo 4

Interpretação da solução para \varphi_2: da equação \cos\varphi_2=0{,}1 obtemos a solução principal
\varphi_2=\operatorname{arccos}(0{,}1)\approx 84{,}260829^\circ.
Há outra solução \varphi_2=360^\circ-84{,}260829^\circ\approx275{,}739171^\circ (o cosseno é igual para ângulos simétricos), o que implica uma ambiguidade de sinal na componente seno. Para prosseguir escolhemos a solução principal \varphi_2\approx84{,}260829^\circ (valor entre 0^\circ e 180^\circ); é a escolha padrão ao usar \operatorname{arccos}.

Passo 5

Agora usamos a fórmula da tangente da fase resultante. Como \varphi_1=0 (ou seja \sin\varphi_1=0 e \cos\varphi_1=1), a expressão simplifica para:
\tan\varphi_r=\frac{7{,}0\sin\varphi_2}{5{,}0+7{,}0\cos\varphi_2}.
Substituímos \cos\varphi_2=0{,}1 e \sin\varphi_2=\sqrt{1-(0{,}1)^2}=\sqrt{0{,}99}.

Passo 6

Calcule numericamente:
\sin\varphi_2=\sqrt{0{,}99}\approx0{,}9949874371.
O numerador:
7{,}0\sin\varphi_2 \approx 7{,}0\times0{,}9949874371 \approx 6{,}9649120597.
O denominador:
5{,}0+7{,}0\cos\varphi_2 = 5{,}0 + 7{,}0\times0{,}1 = 5{,}7.
Dividindo,
\tan\varphi_r \approx \frac{6{,}9649120597}{5{,}7} \approx 1{,}221875.
Tomando arco-tangente (no quadrante correto: numerador e denominador positivos ⇒ \varphi_r no primeiro quadrante),
\varphi_r \approx \arctan(1{,}221875)\approx 50{,}282389^\circ.

Passo 7

Comentário final e motivação: se tivéssemos escolhido a outra solução para \varphi_2 (≈ 275{,}739^\circ), o seno seria negativo e o cálculo daria \varphi_r\approx -50{,}282389^\circ (ou 309{,}717611^\circ). A escolha da solução principal de \operatorname{arccos} leva à \varphi_r positiva \approx50{,}282389^\circ, que é o valor usualmente pedido.

Resposta

50{,}282389^\circ

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