Duas ondas senoidais de mesma frequência, amplitudes
e
, se propagam no mesmo sentido em uma corda esticada; elas produzem uma onda resultante com uma amplitude de
. A constante de fase da onda com amplitude de
é 0.
Qual a constante de fase da onda resultante? Forneça apenas valores numéricos da resposta em graus.
Resposta:
Qual a constante de fase da onda resultante? Forneça apenas valores numéricos da resposta em graus.
Passo 1
O enunciado dá duas ondas senoidais de mesma frequência que se propagam no mesmo sentido. As informações relevantes são:
A constante de fase da onda com amplitude
é
. A pergunta é: qual é a constante de fase da onda resultante? Devemos fornecer apenas um valor numérico em graus.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): quando somamos duas ondas senoidais de mesma frequência podemos representar cada onda por um “fasor” (um vetor no plano complexo) com módulo igual à amplitude e ângulo igual à sua fase. A amplitude da onda resultante
está dada por:
onde
é a diferença de fase entre as duas ondas (
). Aqui cada símbolo significa:
-
: amplitude da onda 1; -
: amplitude da onda 2; -
: amplitude resultante; -
: constantes de fase das ondas 1 e 2; -
: diferença de fase entre as ondas.
Também a fase da onda resultante
pode ser obtida somando as componentes real e imaginária dos fasores:
Aqui
é o ângulo do fasor resultante medido a partir do mesmo referencial de fases.
Passo 3
Aplicando os dados ao primeiro resultado (encontrar
usando a amplitude resultante). Como
, temos
. Substituímos os valores:
Calcule cada termo:
Simplificando,
logo
Passo 4
Interpretação da solução para
: da equação
obtemos a solução principal
Há outra solução
(o cosseno é igual para ângulos simétricos), o que implica uma ambiguidade de sinal na componente seno. Para prosseguir escolhemos a solução principal
(valor entre
e
); é a escolha padrão ao usar
.
Passo 5
Agora usamos a fórmula da tangente da fase resultante. Como
(ou seja
e
), a expressão simplifica para:
Substituímos
e
.
Passo 6
Calcule numericamente:
O numerador:
O denominador:
Dividindo,
Tomando arco-tangente (no quadrante correto: numerador e denominador positivos ⇒
no primeiro quadrante),
Passo 7
Comentário final e motivação: se tivéssemos escolhido a outra solução para
(≈
), o seno seria negativo e o cálculo daria
(ou
). A escolha da solução principal de
leva à
positiva
, que é o valor usualmente pedido.