Uma corda em vibração sempre tem nós nas extremidades, independentemente de como seja o modo de vibração. Explique.
Passo 1
O enunciado afirma: “Uma corda em vibração sempre tem nós nas extremidades, independentemente de como seja o modo de vibração. Explique.”
O que nos é dado (explicitamente ou tacitamente):
O que nos é dado (explicitamente ou tacitamente):
- A corda está presa nas duas extremidades (pontos fixos) em
e . - A vibração é transversal à corda e depende de
(posição ao longo da corda) e (tempo).
O que o problema pede: - Justificar por que, em qualquer modo de vibração admissível, as extremidades são nós (ou seja, pontos cuja amplitude de deslocamento é sempre zero).
Passo 2
Definição clara do que é um nó e da variável que vamos usar.
- Chama-se nó o ponto de uma corda onde o deslocamento transversal é sempre zero para todo tempo.
- Denotemos por
o deslocamento transversal da corda no ponto e no tempo . - Como as extremidades são fixas, valem as condições de contorno
Essas condições significam, por definição, que
e
são nós se todo modo respeitar essas condições.
Passo 3
Apresentando a equação das ondas e o método mais direto (separação de variáveis).
- A vibração livre de uma corda tensa e homogênea é descrita pela equação das ondas unidimensional
onde
é a velocidade de propagação da onda,
é a tensão da corda e
é a densidade linear de massa.
- Procuramos modos normais (método da separação de variáveis): supõe-se uma solução do tipo
Substituindo na equação das ondas e dividindo por
obtém-se
onde
é constante de separação. Isso gera dois ODEs:
Passo 4
Resolver o problema de autovalores espacial com as condições de contorno.
- Para obter soluções físicas não triviais é necessário
. Escrevemos e . Então o problema espacial fica
- A solução geral desta equação é
Aplicando
obtemos
. Assim
Aplicando
força
Portanto os modos espaciais admissíveis são
Observe que para todo
temos
e
: os extremos são zeros da função espacial.
Passo 5
Ligando a solução matemática à conclusão física (por que são nós).
- Cada modo normal tem forma
com
. Qualquer vibração arbitrária compatível com as condições de contorno pode ser escrita como soma (superposição linear) desses modos:
- Como cada termo da soma vale zero em
e para todo , a soma também vale zero nesses pontos. Logo, independente da combinação de modos (isto é, “independentemente do modo de vibração”), as extremidades permanecem sempre com : são nós.
Passo 6
Intuição física alternativa (reflexão com inversão) — para entender sem muita equação.
- Uma extremidade fixa não pode se deslocar; quando uma onda viajante chega à extremidade fixa ela é refletida com inversão de sinal (o deslocamento refletido tem sinal oposto).
- A soma da onda incidente com a refletida forma uma interferência que, no ponto da extremidade, se anula para todo tempo (destruição completa ali), por isso a extremidade é nó.
- Essa visão de reflexão coincide com a dedução matemática anterior: as condições de contorno impõem uma extensão simétrica/antissimétrica que gera zero naquele ponto em todas as soluções.
Passo 7
Resumo e motivação para a prova (dica prática).
- Resuma mentalmente: “extremidade fixa → condição de contorno
→ modos espaciais → zeros em e sempre”. - Na prova, quando pedirem por que há nó na extremidade, cite diretamente as condições de contorno e, se pedirem justificativa mais formal, faça a separação de variáveis e mostre que a solução espacial é proporcional a
.
Resposta
Porque as extremidades são pontos fixos que impõem as condições de contorno
; a resolução por separação de variáveis leva a modos espaciais
, que valem zero em
e
para todo
, portanto as extremidades são sempre nós.