Uma corda em vibração sempre tem nós nas extremidades, independentemente de como seja o modo de vibração. Explique.

Passo 1

O enunciado afirma: “Uma corda em vibração sempre tem nós nas extremidades, independentemente de como seja o modo de vibração. Explique.”
O que nos é dado (explicitamente ou tacitamente):
  • A corda está presa nas duas extremidades (pontos fixos) em x=0 e x=L.
  • A vibração é transversal à corda e depende de x (posição ao longo da corda) e t (tempo).
    O que o problema pede:
  • Justificar por que, em qualquer modo de vibração admissível, as extremidades são nós (ou seja, pontos cuja amplitude de deslocamento é sempre zero).

Passo 2

Definição clara do que é um nó e da variável que vamos usar.
  • Chama-se nó o ponto de uma corda onde o deslocamento transversal é sempre zero para todo tempo.
  • Denotemos por u(x,t) o deslocamento transversal da corda no ponto x e no tempo t.
  • Como as extremidades são fixas, valem as condições de contorno
u(0,t)=0,\qquad u(L,t)=0\qquad\text{para todo }t.
Essas condições significam, por definição, que x=0 e x=L são nós se todo modo respeitar essas condições.

Passo 3

Apresentando a equação das ondas e o método mais direto (separação de variáveis).
  • A vibração livre de uma corda tensa e homogênea é descrita pela equação das ondas unidimensional
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},
onde c=\sqrt{T/\mu} é a velocidade de propagação da onda, T é a tensão da corda e \mu é a densidade linear de massa.
  • Procuramos modos normais (método da separação de variáveis): supõe-se uma solução do tipo
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na equação das ondas e dividindo por X T obtém-se
\frac{T''(t)}{T(t)}=c^2\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda,
onde \lambda é constante de separação. Isso gera dois ODEs:
T''(t)+\lambda T(t)=0, \qquad X''(x)+\frac{\lambda}{c^2}X(x)=0.

Passo 4

Resolver o problema de autovalores espacial com as condições de contorno.
  • Para obter soluções físicas não triviais é necessário \lambda>0. Escrevemos \lambda = \omega^2 e k=\omega/c. Então o problema espacial fica
X''(x)+k^2 X(x)=0, \qquad X(0)=0,\; X(L)=0.
  • A solução geral desta equação é
X(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx).
Aplicando X(0)=0 obtemos B=0. Assim
X(x)=A\sin(kx).
Aplicando X(L)=0 força
\sin(kL)=0 \quad\Rightarrow\quad kL=n\pi,\qquad n=1,2,3,\dots
Portanto os modos espaciais admissíveis são
X_n(x)=A_n\sin\!\Big(\frac{n\pi}{L}x\Big).
Observe que para todo n temos X_n(0)=0 e X_n(L)=0: os extremos são zeros da função espacial.

Passo 5

Ligando a solução matemática à conclusão física (por que são nós).
  • Cada modo normal tem forma
u_n(x,t)=A_n\sin\!\Big(\frac{n\pi}{L}x\Big)\cos(\omega_n t+\phi_n),
com \omega_n = \dfrac{n\pi c}{L}. Qualquer vibração arbitrária compatível com as condições de contorno pode ser escrita como soma (superposição linear) desses modos:
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n\sin\!\Big(\frac{n\pi}{L}x\Big)\cos(\omega_n t+\phi_n).
  • Como cada termo da soma vale zero em x=0 e x=L para todo t, a soma também vale zero nesses pontos. Logo, independente da combinação de modos (isto é, “independentemente do modo de vibração”), as extremidades permanecem sempre com u(0,t)=u(L,t)=0: são nós.

Passo 6

Intuição física alternativa (reflexão com inversão) — para entender sem muita equação.
  • Uma extremidade fixa não pode se deslocar; quando uma onda viajante chega à extremidade fixa ela é refletida com inversão de sinal (o deslocamento refletido tem sinal oposto).
  • A soma da onda incidente com a refletida forma uma interferência que, no ponto da extremidade, se anula para todo tempo (destruição completa ali), por isso a extremidade é nó.
  • Essa visão de reflexão coincide com a dedução matemática anterior: as condições de contorno impõem uma extensão simétrica/antissimétrica que gera zero naquele ponto em todas as soluções.

Passo 7

Resumo e motivação para a prova (dica prática).
  • Resuma mentalmente: “extremidade fixa → condição de contorno u=0 → modos espaciais \sin(n\pi x/L) → zeros em x=0 e x=L sempre”.
  • Na prova, quando pedirem por que há nó na extremidade, cite diretamente as condições de contorno e, se pedirem justificativa mais formal, faça a separação de variáveis e mostre que a solução espacial é proporcional a \sin(n\pi x/L).

Resposta

Porque as extremidades são pontos fixos que impõem as condições de contorno u(0,t)=u(L,t)=0; a resolução por separação de variáveis leva a modos espaciais X_n(x)\propto\sin\!\big(\tfrac{n\pi}{L}x\big), que valem zero em x=0 e x=L para todo t, portanto as extremidades são sempre nós.

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