Desenhe um diagrama de contorno para cada um dos seguintes orbitais:
n=1. l=0

Passo 1

O enunciado pede um diagrama de contorno (contour plot) do orbital com n=1 e l=0. Informação dada:
  • Valores quânticos: n=1, l=0.
    Pergunta: desenhar o diagrama de contorno correspondente a esse orbital.

Passo 2

O que é esse orbital e qual é sua forma matemática (pegando a forma canônica do orbital de Hidrogênio):
\psi_{1,0,0}(r,\theta,\varphi)=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\,e^{-r/a_0}.
Explicando peça por peça:
  • \psi_{1,0,0} é a função de onda do orbital 1s (índices n=1,l=0,m=0).
  • r é a distância do elétron ao núcleo (isto é, a coordenada radial em coordenadas esféricas).
  • a_0 é o raio de Bohr (constante, unidade de comprimento).
  • A parte angular aqui é constante (não depende de \theta,\varphi), por isso o orbital é esfericamente simétrico.
    Observações importantes:
  • A densidade de probabilidade física é |\psi|^2. Para este orbital:
|\psi_{1s}(r)|^2=\frac{1}{\pi a_0^3}\,e^{-2r/a_0}.
  • Não há nós radiais nem angulares (nenhum r>0 tal que |\psi|^2=0); o máximo está em r=0 e a densidade decai exponencialmente com r.
  • Como a função é positiva em todo lugar (a escolha de fase padrão), todas as regiões têm a mesma fase (não há mudança de sinal).

Passo 3

Como traduzir isso em um diagrama de contorno (ideia física do contorno):
  • Superfícies de igual valor de |\psi|^2 são esferas centradas no núcleo (porque depende só de r).
  • Num corte plano (por exemplo o plano z=0) essas esferas aparecem como círculos concêntricos.
  • Portanto o diagrama de contorno é um conjunto de círculos concêntricos centrados no núcleo; o espaçamento entre círculos reflete o decaimento exponencial.

Passo 4

Escolher níveis de contorno práticos (frações da densidade máxima) e calcular os raios correspondentes:
  • Seja c a fração da densidade máxima em r=0, isto é |\psi|^2 = c\,|\psi(0)|^2. Então
e^{-2r/a_0}=c \quad\Rightarrow\quad r=-\frac{a_0}{2}\ln c.
  • Para três níveis úteis na hora de desenhar (por exemplo c=0,8, c=0,5 e c=0,2) obtemos:
r(c=0,8)=-\frac{a_0}{2}\ln(0,8)\approx 0,112\,a_0,
r(c=0,5)=-\frac{a_0}{2}\ln(0,5)\approx 0,347\,a_0,
r(c=0,2)=-\frac{a_0}{2}\ln(0,2)\approx 0,805\,a_0.
Interpretação: o primeiro contorno fica bem colado ao núcleo, o segundo um pouco mais afastado e o terceiro mais longe; depois a densidade continua a decair sem chegar a zero.

Passo 5

Passo-a-passo prático para desenhar (o que desenhar num rascunho de prova):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares no plano do papel e marque o centro como “núcleo (r=0)”.
  2. Trace círculos concêntricos centrados no núcleo. Para dar proporção, use raios proporcionais a 0,11\,a_0, 0,35\,a_0, 0,80\,a_0 (ou apenas círculos espaçados crescentemente — o importante é mostrar decaimento).
  3. Indique que os círculos representam superfícies de igual |\psi|^2 (escreva |\psi|^2= constante ao lado).
  4. Marque que não há nós e que a fase é a mesma em todas as regiões (por exemplo escreva “sem mudança de sinal — mesma fase”).
  5. Se quiser, faça um sombreamento contínuo: mais escuro no centro (densidade maior) e clareando conforme se afasta.

Passo 6

Um pequeno desenho ASCII que mostra a ideia (um corte 2D no plano; círculos concêntricos):
  \(\circ\) \(\circ\) \(\circ\)
   \(\circ\)  Núcleo  \(\circ\)
  \(\circ\) \(\circ\) \(\circ\)
(Nota: na folha real, desenhar círculos concêntricos com o núcleo no centro.)

Passo 7

Dicas rápidas de prova e interpretação:
  • Diga explicitamente se o contorno é de \psi ou de |\psi|^2. Recomendo |\psi|^2 (probabilidade).
  • Escreva a expressão |\psi_{1s}|^2=\dfrac{1}{\pi a_0^3}e^{-2r/a_0} ao lado do desenho para mostrar entendimento.
  • Lembre-se: por ser esfericamente simétrico, qualquer corte passante pelo núcleo dá círculos concêntricos iguais — é a assinatura do orbital s.
  • Respira fundo — para o 1s o esboço é rápido: núcleo + círculos concêntricos + nota “sem nós”.

Resposta

Diagrama de contorno do orbital n=1,\;l=0 (1s): círculos concêntricos centrados no núcleo representando superfícies de igual |\psi_{1s}|^2, sem nós e com densidade máxima em r=0 decaindo exponencialmente; exemplos de raios para níveis |\psi|^2=c\cdot|\psi(0)|^2: r(c=0,8)\approx0,112\,a_0, r(c=0,5)\approx0,347\,a_0, r(c=0,2)\approx0,805\,a_0.

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