Uma corda vibrante homogênea, de comprimento 1,6 \mathrm{~m} e massa 40 g , emite o som fundamental quando está submetida a uma tração de 160 N . Determine a frequência do 30 harmônico desse som fundamental :
a) 200 Hz
b) 150 Hz
c) 125 Hz
d) 100 Hz e) 75 Hz

Passo 1

Dados fornecidos pelo enunciado e o que se pede:
  • Comprimento da corda: L=1,6\\ \mathrm{m}.
  • Massa da corda: m=40\\ \mathrm{g}.
  • Tração (tensão) na corda: T=160\\ \mathrm{N}.
  • Pergunta: determinar a frequência do 30º harmônico (escrito “30 harmônico” no enunciado) do som fundamental emitido pela corda.
  • Alternativas fornecidas:
    a) 200\\ \mathrm{Hz}
    b) 150\\ \mathrm{Hz}
    c) 125\\ \mathrm{Hz}
    d) 100\\ \mathrm{Hz}
    e) 75\\ \mathrm{Hz}

Passo 2

Converter unidades para o SI e calcular a densidade linear da corda:
  • Transformo a massa para quilogramas: m=40\\ \mathrm{g}=0,04\\ \mathrm{kg}.
  • Densidade linear (massa por comprimento) é definida por \mu=\dfrac{m}{L}.
  • Calculo \mu:
\mu=\dfrac{0,04}{1,6}=0,025\\ \mathrm{kg/m}.
Expliquei: \mu é quanto de massa tem por cada metro de corda — é essencial para a velocidade da onda na corda.

Passo 3

Calcular a velocidade de propagação das ondas na corda usando a relação entre tensão e densidade linear:
  • Fórmula usada:
v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}},
onde v é a velocidade da onda, T é a tensão na corda (em newtons) e \mu é a densidade linear (em kg/m).
  • Substituindo os valores:
v=\sqrt{\dfrac{160}{0,025}}=\sqrt{6400}=80\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei: essa fórmula vem da teoria das ondas em cordas — quanto maior a tensão e quanto menor a massa por comprimento, mais rápida a onda.

Passo 4

Calcular a frequência fundamental da corda:
  • Para uma corda com extremidades fixas, o maior modo (fundamental) tem comprimento de onda \lambda_1=2L.
  • Frequência fundamental dada por f_1=\dfrac{v}{\lambda_1}=\dfrac{v}{2L}.
  • Substituindo:
f_1=\dfrac{80}{2\cdot 1,6}=\dfrac{80}{3,2}.
Faço a divisão: 3,2\cdot 25=80, logo
f_1=25\\ \mathrm{Hz}.
Expliquei: a fórmula f_1=v/(2L) vem de f=v/\lambda e de \lambda_1=2L.

Passo 5

Relação entre harmônicos e a frequência fundamental:
  • Os harmônicos são múltiplos inteiros da fundamental:
f_n=n\cdot f_1,
onde n é o número do harmônico (por exemplo, n=1 é o fundamental, n=2 é o 2º harmônico, etc.).

Passo 6

Calcular explicitamente o 30º harmônico (caso o enunciado realmente queira n=30):
f_{30}=30\cdot f_1=30\cdot 25=750\\ \mathrm{Hz}.
Observação útil: 750\\ \mathrm{Hz} não aparece entre as alternativas dadas.

Passo 7

Verificação das alternativas em relação a múltiplos de f_1=25\\ \mathrm{Hz}:
  • 75\\ \mathrm{Hz}=3\cdot 25 (3º harmônico)
  • 100\\ \mathrm{Hz}=4\cdot 25 (4º harmônico)
  • 125\\ \mathrm{Hz}=5\cdot 25 (5º harmônico)
  • 150\\ \mathrm{Hz}=6\cdot 25 (6º harmônico)
  • 200\\ \mathrm{Hz}=8\cdot 25 (8º harmônico)
Interpretação prática: como 750\\ \mathrm{Hz} (30º harmônico) não está nas alternativas, o enunciado provavelmente teve um pequeno erro de digitação e queria o 3^\circ (terceiro) harmônico, não o trigésimo. Isso é comum em listas onde o símbolo de ordinal 3^\circ pode ser confundido com “30”. Entre as opções, a única que corresponde a um harmônico inteiro razoável e simples é 75\\ \mathrm{Hz}, que é exatamente o 3º harmônico: 3\cdot 25=75\\ \mathrm{Hz}.

Passo 8

Conclusão (escolha da alternativa):
  • Aceitando que a intenção do problema era pedir o 3º harmônico (interpretação consistente com as alternativas), a resposta correta é a alternativa e) 75\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

e) 75\\ \mathrm{Hz}

Exercícios relacionados