Uma corda vibrante homogênea, de comprimento
e massa 40 g , emite o som fundamental quando está submetida a uma tração de 160 N . Determine a frequência do 30 harmônico desse som fundamental :
a) 200 Hz
b) 150 Hz
c) 125 Hz
d) 100 Hz e) 75 Hz
a) 200 Hz
b) 150 Hz
c) 125 Hz
d) 100 Hz e) 75 Hz
Passo 1
Dados fornecidos pelo enunciado e o que se pede:
- Comprimento da corda:
. - Massa da corda:
. - Tração (tensão) na corda:
. - Pergunta: determinar a frequência do 30º harmônico (escrito “30 harmônico” no enunciado) do som fundamental emitido pela corda.
- Alternativas fornecidas:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Converter unidades para o SI e calcular a densidade linear da corda:
- Transformo a massa para quilogramas:
. - Densidade linear (massa por comprimento) é definida por
. - Calculo
:
Expliquei:
é quanto de massa tem por cada metro de corda — é essencial para a velocidade da onda na corda.
Passo 3
Calcular a velocidade de propagação das ondas na corda usando a relação entre tensão e densidade linear:
- Fórmula usada:
onde
é a velocidade da onda,
é a tensão na corda (em newtons) e
é a densidade linear (em kg/m).
- Substituindo os valores:
Expliquei: essa fórmula vem da teoria das ondas em cordas — quanto maior a tensão e quanto menor a massa por comprimento, mais rápida a onda.
Passo 4
Calcular a frequência fundamental da corda:
- Para uma corda com extremidades fixas, o maior modo (fundamental) tem comprimento de onda
. - Frequência fundamental dada por
. - Substituindo:
Faço a divisão:
, logo
Expliquei: a fórmula
vem de
e de
.
Passo 5
Relação entre harmônicos e a frequência fundamental:
- Os harmônicos são múltiplos inteiros da fundamental:
onde
é o número do harmônico (por exemplo,
é o fundamental,
é o 2º harmônico, etc.).
Passo 6
Calcular explicitamente o 30º harmônico (caso o enunciado realmente queira
):
Observação útil:
não aparece entre as alternativas dadas.
Passo 7
Verificação das alternativas em relação a múltiplos de
:
-
(3º harmônico) -
(4º harmônico) -
(5º harmônico) -
(6º harmônico) -
(8º harmônico)
Interpretação prática: como
(30º harmônico) não está nas alternativas, o enunciado provavelmente teve um pequeno erro de digitação e queria o
(terceiro) harmônico, não o trigésimo. Isso é comum em listas onde o símbolo de ordinal
pode ser confundido com “30”. Entre as opções, a única que corresponde a um harmônico inteiro razoável e simples é
, que é exatamente o 3º harmônico:
.
Passo 8
Conclusão (escolha da alternativa):
- Aceitando que a intenção do problema era pedir o 3º harmônico (interpretação consistente com as alternativas), a resposta correta é a alternativa e)
.
Resposta
e)