Aplicação: Determine o período de oscilação de um corpo de massa 200 g preso a uma mola de constante elástica 320 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, cujo MHS tem amplitude 20 cm . Caso a amplitude se reduza à metade, o que ocorre com o período?
Aplicando-se a fórmula do período do MHS:
T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}
T=2 \pi \sqrt{\frac{0,2}{320}}=2 \pi \sqrt{\frac{1}{1600}}=\frac{2 \pi}{40} \Rightarrow T=\frac{\pi}{20} s
Mesmo que a amplitude se altere, nada ocorre com o período, pois ele não depende da amplitude.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar o período de oscilação de um corpo com massa 200\\ \mathrm{g} preso a uma mola de constante elástica 320\\ \mathrm{N/m}, sabendo que a amplitude do MHS é 20\\ \mathrm{cm}.
  2. Dizer o que ocorre com o período se a amplitude for reduzida à metade.
Informações fornecidas:
m=200\\ \mathrm{g},\quad k=320\\ \mathrm{N/m},\quad A=20\\ \mathrm{cm}.
Perguntas:
\text{(i) } T=\\ ?\qquad\text{(ii) Se }A\to A/2,\\ \text{o que ocorre com }T\\ ?

Passo 2

Apresento a fórmula que relaciona massa, constante elástica e período no movimento harmônico simples (MHS):
T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.
Explicando a fórmula de modo bem didático:
  • T é o período, ou seja, o tempo que o sistema leva para uma oscilação completa (unidade: segundos).
  • m é a massa do corpo (unidade: quilograma).
  • k é a constante elástica da mola (unidade: newton por metro).
    Por que essa fórmula vale? Porque a equação diferencial do MHS linear é
m\ddot{x}+kx=0,
que tem solução com movimento harmônico de frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Como T e \omega são relacionados por T=\dfrac{2\pi}{\omega}, substituindo \omega vem a fórmula acima. Observe aqui que a amplitude A não aparece — isso significa que, para um MHS linear (mola obedecendo Lei de Hooke), o período não depende da amplitude.

Passo 3

Converto as unidades para o Sistema Internacional, porque a fórmula exige m em quilogramas e k em \mathrm{N/m}:
m=200\\ \mathrm{g}=0,200\\ \mathrm{kg},
A=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}.
Se a amplitude for reduzida à metade:
A'=\frac{A}{2}=0,10\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Substituo os valores na fórmula e faço as contas passo a passo:
T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi\sqrt{\frac{0,200}{320}}.
Calculo o quociente dentro da raiz:
\frac{0,200}{320}=\frac{200}{320000}=\frac{1}{1600}.
Tiro a raiz:
\sqrt{\frac{1}{1600}}=\frac{1}{40}.
Multiplico por 2\pi:
T=2\pi\cdot\frac{1}{40}=\frac{2\pi}{40}=\frac{\pi}{20}\\ \mathrm{s}.
Se quiser um valor numérico aproximado, uso \pi\approx3,14159:
T\approx\frac{3,14159}{20}\\ \mathrm{s}\approx0,1571\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Sobre o efeito de reduzir a amplitude à metade: para o MHS linear (Lei de Hooke), a expressão de T não contém A. Logo, ao reduzir a amplitude de 0,20\\ \mathrm{m} para 0,10\\ \mathrm{m}, o período permanece igual. Em termos físicos: a energia e a amplitude mudam, mas a frequência (e portanto o período) é determinada apenas por m e k enquanto a mola se comportar linearmente.

Resposta

T=\dfrac{\pi}{20}\\ \mathrm{s}\approx0,1571\\ \mathrm{s}
A redução da amplitude pela metade não altera o período; T permanece \dfrac{\pi}{20}\\ \mathrm{s}.

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