(1,5) Uma corda de violino, de comprimento L e densidade linear mu, vibra no primeiro harmônico em uma frequência f quando submetida a uma tensão T. Suponha que essa corda seja cortada ao meio, L2=L / 2 e que a tensão seja dobrada, T2=2 T. Qual será a nova frequência f2 no primeiro harmônico?

Passo 1

O enunciado trata de uma corda vibrante presa em suas extremidades, de comprimento L e densidade linear mu, sob tensão T. No primeiro harmônico, ela vibra com frequência f. Para resolver, vamos usar a teoria de ondas em corda fixa: a velocidade de propagação é
v = raizTmu
e a frequência fundamental (primeiro harmônico) é
f = v2L,

Passo 2

Substituindo v em f, obtemos
f = 12L,raizTmu,

Passo 3

Quando cortamos a corda ao meio, o novo comprimento é L2=L/2. Ao mesmo tempo, a tensão dobra: T2=2T. A nova velocidade de onda é
v2 = raizT2mu = raiz2Tmu = raiz2,raizTmu = raiz2,v,
Logo, a frequência fundamental desse pedaço é
f2 = v22L2 = raiz2,v2,(L/2) = raiz2,vL,

Passo 4

Comparemos f2 com f. Como
f = v2L,
temos
f2 = raiz2,vL = 2raiz2,v2L = 2raiz2,f,

Resposta

A nova frequência no primeiro harmônico é
f2 = 2raiz2,f,

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