(2,0) No eixo x, uma fonte F1 está na origem x=0, e outra fonte F2 está no ponto x=2 lambda / 3. As fontes emitem ondas progressivas unidimensionais de mesma frequência f, amplitude ym, no sentido positivo do eixo x. Obtenha a expressão para a função de onda resultante para x>lambda / 3 sabendo que as ondas estão em fase nas suas respectivas origens.

Passo 1

O enunciado descreve duas fontes pontuais unidimensionais em x=0 ( F1) e em x=2lambda/3 ( F2), ambas emitindo ondas harmônicas de amplitude ym e frequência f no sentido positivo de x, com mesma fase inicial em cada origem. Queremos a superposição das duas ondas no regime estacionário para x>lambda/3. Vamos usar que cada onda é
yi(x,t)=ymcosl(kx-omega t+phiir),
com k=2pi/lambda e omega=2pi f, e determinar o desfasamento phi2 devido ao deslocamento da fonte F2.

Passo 2

Para F1 em x=0, a fase inicial é zero, portanto
y1(x,t)=ymcosl(kx-omega tr)

Passo 3

Para F2 em x=2lambda/3, queremos que em x=2lambda/3 e t=0 a fase seja também zero. Logo o argumento da cosseno deve zerar quando x=2lambda/3, t=0:
kl(2lambda/3r)+phi2=0 Longrightarrow phi2=-k2lambda3=-2pilambdacdot2lambda3=-4pi3
Portanto
y2(x,t)=ymcosl(kx-omega t-tfrac4pi3r)

Passo 4

A onda resultante é
y(x,t)=y1(x,t)+y2(x,t) =ymcostheta + ymcosl(theta-tfrac4pi3r),
onde theta=kx-omega t. Usando a identidade
cos A+cos B =2cos!l(tfracA+B2r)cos!l(tfracA-B2r),
com A=theta e B=theta-tfrac4pi3, obtemos
y(x,t) =2ymcos!l(theta-tfrac2pi3r)cos!l(tfrac4pi3!div2r) =2ymcos!l(theta-tfrac2pi3r)cos!l(tfrac2pi3r)
Como cos(2pi/3)=-tfrac12, fica
y(x,t)=-ymcos!l(theta-tfrac2pi3r)

Passo 5

Finalmente, usando -cosalpha=cos(alpha+pi), temos
y(x,t) =ymcos!l(theta-tfrac2pi3+pir) =ymcosl(kx-omega t+tfracpi3r)

Resposta

boxedy(x,t)=ymcosl(kx-omega t+tfracpi3r), x>lambda/3

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