Mostrar que, existindo atrito em um sistema que sob outros aspectos é conservativo, a taxa de dissipação da energia mecânica é igual à força de atrito multiplicada pelo módulo da velocidade naquele instante, isto é,
d(K+U)d t=-f v

Passo 1

O enunciado pede para um sistema que, além de conservativo (com energia potencial U(x)), sofre atrito de intensidade f, mostrarmos que
dl(K+Ur)dt=-f,v,
onde K=tfrac12mv^2 é a energia cinética e v=|,dot x,| o módulo da velocidade. Vamos usar a segunda lei de Newton e as relações entre forças, trabalho e energia.

Passo 2

Em uma dimensão, a segunda lei de Newton para massa m é
m,dvdt=Fcons+Fatr

Passo 3

No sistema temos
Fcons=-dUdx, Fatr=-f,sgn(v),
onde sgn(v) é o sinal de v, garantindo que a força de atrito se oponha ao movimento.

Passo 4

Multiplicando a equação de Newton escalar por v e usando
m,v,dvdt =ddtl(tfrac12mv^2r) =dKdt, dUdx,v=dUdt,
obtemos
dKdt =-dUdt ;+;Fatr,v =-dUdt ;-;f,sgn(v),v

Passo 5

Como sgn(v),v=|v|=v, somando dKdt e dUdt resulta
dl(K+Ur)dt =-f,v

Resposta

d(K+U)dt=-f,v.

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