1. A corda lá de um violino está esticada demais. São ouvidos n batimentos por segundo quando a corda é tocada junto com um diapasão que oscila exatamente na frequência do lá de concerto ( 440 Hz ). Qual é o periodo de oscilação da corda do violino ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • A altura do diapasão é \,440\\ \text{Hz}.
  • Ao tocar a corda do violino junto com o diapasão são ouvidos \,n batimentos por segundo (ou seja, \,n Hz de batimento).
  • A corda do violino está “esticada demais” (isso sugere que sua frequência é maior que \,440\\ \text{Hz}).
    O que o exercício pede:
  • Determinar o período de oscilação da corda do violino (ou seja, T em segundos).

Passo 2

Entender o que são batimentos e como relacioná-los às frequências.
  • Quando duas ondas sonoras quase na mesma frequência f_1 e f_2 são somadas, percebe-se uma variação lenta na amplitude (o “batimento”) cuja frequência é a diferença entre as duas frequências.
  • Matematicamente, a frequência de batimento f_{\text{bat}} satisfaz
f_{\text{bat}}=\bigl|f_{\text{violin}}-f_{\text{diapasão}}\bigr|.ã
Aqui cada f está em hertz (Hz), isto é, em ciclos por segundo.

Passo 3

Aplicar a relação ao caso concreto usando os dados do enunciado.
  • O diapasão tem f_{\text{diapasão}}=440\\ \text{Hz}ã.
  • A frequência de batimento foi dada como n (ou seja, f_{\text{bat}}=n\\ \text{Hz}).
    Logo
n=\bigl|f_{\text{violin}}-440\bigr|.

Passo 4

Resolver a equação para f_{\text{violin}}.
A equação n=\bigl|f_{\text{violin}}-440\bigr| tem duas soluções gerais:
f_{\text{violin}}=440+n \qquad\text{ou}\qquad f_{\text{violin}}=440-n.
Essas duas soluções correspondem a corda desafinada para cima (maior frequência) ou para baixo (menor frequência).

Passo 5

Escolher a solução apropriada usando a informação adicional do enunciado.
  • O enunciado diz que a corda está “esticada demais”. Quando se estica mais uma corda, a sua frequência aumenta.
  • Portanto a solução relevante é
f_{\text{violin}}=440+n.

Passo 6

Recordar a definição de período e calcular o período da corda.
  • O período T é o tempo de um ciclo e é o inverso da frequência:
T=\frac{1}{f}.
  • Substituindo f=f_{\text{violin}}=440+n obtemos
T=\frac{1}{440+n}\\ \text{segundos}.

Passo 7

Dar uma interpretação numérica rápida (exemplo) para fixar a ideia.
  • Se, por exemplo, n=2 batimentos por segundo, então
T=\frac{1}{440+2}=\frac{1}{442}\\ \text{s}\approx0,00226\\ \text{s}.
Isto só é um exemplo para ver a ordem de grandeza; a resposta geral permanece em função de n.

Resposta

\displaystyle T=\frac{1}{440+n}\\ \text{segundos}

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