Uma corda de violino, oscilando em seu modo fundamental, gera uma onda sonora com comprimento de onda lambda. Por qual número devemos multiplicar a tensão para que a corda, ainda oscilando em seu modo fundamental, emita uma nova onda sonora com comprimento de onda lambda / 2?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A ideia é: temos uma corda de violino vibrando no modo fundamental e gerando uma onda sonora no ar de comprimento de onda λ. A gente vai aumentar a tensão na corda de modo que, ainda no modo fundamental, ela emita uma onda sonora com metade desse comprimento de onda (λ/2).
Conteúdo: ondas sonoras e cordas vibrantes.
O que vamos precisar:
  • A relação onda sonora: f = v_som/λ
  • A relação frequência da corda no modo fundamental: f ∝ √T
  • Fazer a conta de quantas vezes T precisa crescer pra f dobrar (já que λ cai pela metade).

Passo 2

Primeiro, a teoria da onda sonora no ar. Se a corda vibra com frequência f, ela emite no ar uma onda cuja velocidade v_som (quase constante) satisfaz
f = vrm somlambda,
Para gerar comprimento de onda λ/2, a frequência precisa dobrar, porque
f' = vrm somlambda/2 = 2,vrm somlambda = 2f,

Passo 3

Então a gente quer que a frequência nova f’ seja o dobro da frequência inicial f:
f' = 2,f,

Passo 4

Agora a teoria da corda vibrante. No modo fundamental, a frequência depende da tensão T e da massa linear μ da corda:
f = 12LraizTmu,
Repara que tudo, menos T, é constante (comprimento L e μ não mudam). Logo
f propto raizT,

Passo 5

A gente quer f’ = 2f. Como f ∝ √T, isso dá
f'f = 2 = raizT'raizT = raizT'T,
Elevando ao quadrado:
4 = T'T,
Ou seja, T′ = 4T.

Resposta

Você precisa multiplicar a tensão por 4.

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