( 2,0 pontos) Qual é o comportamento da concentração de cloro no tanque, em malha aberta, caso for aplicado uma tensão de 10 V na bomba? Esboce a resposta do sistema em malha aberta para uma entrada do tipo degrau igual a:
U(s)=\frac{10}{s}
evidenciando o valor que o sistema atinge em regime permanente e o tempo de acomodação de 5 \%.

Passo 1

O enunciado pede: (1) esboçar a resposta em malha aberta do tanque à entrada degrau \displaystyle U(s)=\frac{10}{s}; (2) evidenciar o valor que o sistema atinge em regime permanente; (3) evidenciar o tempo de acomodação de 5\%.\n
Informações dadas: a única informação numérica explícita é a entrada \displaystyle U(s)=\frac{10}{s} (um degrau de amplitude 10 — isto é, aplicar 10\\ \text{V} na bomba).\n
Informação que falta e que é necessária para obter valores numéricos: a função de transferência em malha aberta do tanque (ou seja, G(s) que relaciona a tensão da bomba à concentração de cloro). Sem G(s) não dá para calcular um valor numérico específico da concentração em regime permanente nem um valor numérico do tempo de acomodação.\n
Decisão tomada: vou (A) explicar o método geral correto que se usa para obter a resposta ao degrau a partir de G(s), incluindo como obter o valor em regime permanente usando o Teorema do Valor Final e como definir/acalcular o tempo de acomodação 5\%; e (B) aplicar o método explicitamente ao caso muito comum de um sistema de primeira ordem \displaystyle G(s)=\frac{K}{\tau s+1} (modelo padrão de um tanque bem misturado) para mostrar passo a passo como obter resposta, regime permanente e tempo de acomodação. Se o seu sistema for diferente, você deve substituir a G(s) verdadeira e seguir os mesmos passos.

Passo 2

Como se obtém a resposta ao degrau em termos gerais\n
Se a função de transferência do processo em malha aberta for \displaystyle G(s) (relação Laplace entre entrada tensão e saída concentração), a saída em Laplace é
Y(s)=G(s)\,U(s).
Com \displaystyle U(s)=\frac{10}{s} temos
Y(s)=G(s)\,\frac{10}{s}.
Para achar y(t) (a resposta temporal), fazemos a transformada inversa de Laplace de Y(s). Em particular, o valor em regime permanente pode ser obtido sem inverter completamente usando o Teorema do Valor Final (quando o sistema é estável). O Teorema do Valor Final diz:
\lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{s\to 0} sY(s),
desde que todos os polos de sY(s) estejam à esquerda do eixo imaginário (ou seja, o sistema seja estável e as condições do teorema sejam satisfeitas). Isso será usado a seguir.

Passo 3

Cálculo do valor em regime permanente — expressão geral\n
Aplicando o Teorema do Valor Final a \displaystyle Y(s)=G(s)\frac{10}{s} obtemos
\lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{s\to 0} s\left(G(s)\frac{10}{s}\right)=10\;G(0).
Interpretação: o valor final da concentração é a amplitude do degrau ( 10) multiplicada pelo ganho estático do processo G(0) (ou seja, a avaliação da função de transferência em s=0). Portanto, para dar o valor numérico em regime permanente você só precisa do ganho em DC G(0). Exemplo conceitual: se G(0)=0{,}2 (ou seja, cada volt aplicado gera 0{,}2 unidades de concentração em regime), então o regime permanente será 10\cdot 0{,}2=2 (unidades de concentração).

Passo 4

Como determinar o tempo de acomodação de 5\% (definição e método)\n
Definição: o tempo de acomodação de 5\% (denotado t_{s(5\%)}) é o menor tempo após o qual a saída permanece dentro de 5\% do valor final para todo t\ge t_{s}. Em fórmula:
|y(t)-y_{ss}|\le 0{,}05\,y_{ss}\quad\text{para todo }t\ge t_{s(5\%)}.
Para calcular esse tempo, precisamos da expressão temporal y(t). Isso depende da forma dos polos de G(s). No caso prático mais comum (tanque bem misturado com dinâmica de primeira ordem), há fórmulas simples, que eu mostro no próximo passo.

Passo 5

Modelo de primeira ordem (caso comum): \displaystyle G(s)=\frac{K}{\tau s+1}\n
Explicação dos parâmetros: \displaystyle K é o ganho estático (unidades de concentração por volt) e \displaystyle \tau>0 é a constante de tempo (segundos) que mede a rapidez do processo.\n
Calculemos a saída em Laplace:
Y(s)=\frac{K}{\tau s+1}\cdot\frac{10}{s}=\frac{10K}{s(\tau s+1)}.
Para inverter a Laplace, fazemos frações parciais ou lembramos a transformada padrão. A decomposição padrão dá uma resposta do tipo:
y(t)=10K\left(1-e^{-t/\tau}\right)\quad\text{para }t\ge 0.
Passo a passo da inversão (resumido e didático): escrevemos
\frac{10K}{s(\tau s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{\tau s+1}.
Multiplicando ambos os lados por s(\tau s+1) e comparando coeficientes, obtemos A=10K e B=-10K. A transformada inversa de \frac{A}{s} é A (um degrau), e de \frac{B}{\tau s+1} é B\,e^{-t/\tau}. Assim surge a forma acima.

Passo 6

Valor em regime permanente para o modelo de 1ª ordem e verificação com Teorema do Valor Final\n
Tomando o limite t\to\infty na expressão de y(t):
\lim_{t\to\infty} y(t)=10K\left(1-e^{-\infty}\right)=10K.
Isso coincide com a fórmula geral \displaystyle 10\,G(0) porque G(0)=\dfrac{K}{1}=K. Observação: a estabilidade aqui exige \tau>0 (polo em s=-1/\tau no semiplano esquerdo).

Passo 7

Tempo de acomodação de 5\% no caso de 1ª ordem (cálculo explícito)\n
Partimos da desigualdade que define t_s:
|y(t)-y_{ss}|=10K\,e^{-t/\tau}\le 0{,}05\cdot(10K).
Cancelando 10K>0 dos dois lados (assumimos ganho positivo; se for negativo a definição de tolerância usa valor absoluto do y_{ss}):
e^{-t/\tau}\le 0{,}05.
Aplicando o logaritmo natural:
-\frac{t}{\tau}\le \ln(0{,}05)\quad\Rightarrow\quad t\ge -\tau\ln(0{,}05).
Numericamente \ln(0{,}05)\approx -2{,}9957, portanto
t_{s(5\%)}\approx 2{,}9957\,\tau\approx 3\tau.
Interpretação prática: para um sistema de primeira ordem, o tempo de acomodação para 5\% é aproximadamente 3 vezes a constante de tempo.

Passo 8

Resumo operacional: como você aplica isso com os dados do seu problema\n
  • Se você conhece G(s), calcule G(0). O valor de regime permanente será \displaystyle y_{ss}=10\,G(0). Use o Teorema do Valor Final se preferir.\n
  • Para saber o tempo de acomodação, analise os polos de G(s). Se G(s) for de primeira ordem \displaystyle \frac{K}{\tau s+1}, então \displaystyle t_{s(5\%)}\approx -\tau\ln(0{,}05)\approx 3\tau. Se for de ordem maior, o tempo de acomodação é dominado pelos polos dominantes (aqueles com parte real mais próxima de zero) e o cálculo exige achar esses polos e escrever a resposta temporal (soma de exponenciais) e aplicar a desigualdade do 5\%.\n
  • Esboço do sinal (modo de fazer no rascunho da prova): para primeira ordem, trace uma curva exponencial que parte de y(0)=0, cruza y(\tau)=10K(1-e^{-1})\approx 0{,}632\cdot10K, aproxima-se assintoticamente de 10K e marque o tempo t_{s(5\%)}\approx 3\tau onde a curva entra na faixa [0{,}95\cdot10K,\,1{,}05\cdot10K].

Resposta

O valor em regime permanente é \displaystyle y_{ss}=10\,G(0).\n
Se o sistema for de primeira ordem \displaystyle G(s)=\frac{K}{\tau s+1}, então \displaystyle y(t)=10K\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr), o regime permanente é \displaystyle y_{ss}=10K e o tempo de acomodação de 5\% é \displaystyle t_{s(5\%)}\approx -\tau\ln(0{,}05)\approx 2{,}9957\,\tau\\ (\approx 3\tau).

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