( 2,0 pontos) Qual é o comportamento da concentração de cloro no tanque, em malha aberta, caso for aplicado uma tensão de 10 V na bomba? Esboce a resposta do sistema em malha aberta para uma entrada do tipo degrau igual a:
evidenciando o valor que o sistema atinge em regime permanente e o tempo de acomodação de
.
Passo 1
O enunciado pede: (1) esboçar a resposta em malha aberta do tanque à entrada degrau
; (2) evidenciar o valor que o sistema atinge em regime permanente; (3) evidenciar o tempo de acomodação de
.\n
Informações dadas: a única informação numérica explícita é a entrada (um degrau de amplitude
— isto é, aplicar
na bomba).\n
Informação que falta e que é necessária para obter valores numéricos: a função de transferência em malha aberta do tanque (ou seja, que relaciona a tensão da bomba à concentração de cloro). Sem
não dá para calcular um valor numérico específico da concentração em regime permanente nem um valor numérico do tempo de acomodação.\n
Decisão tomada: vou (A) explicar o método geral correto que se usa para obter a resposta ao degrau a partir de , incluindo como obter o valor em regime permanente usando o Teorema do Valor Final e como definir/acalcular o tempo de acomodação
; e (B) aplicar o método explicitamente ao caso muito comum de um sistema de primeira ordem
(modelo padrão de um tanque bem misturado) para mostrar passo a passo como obter resposta, regime permanente e tempo de acomodação. Se o seu sistema for diferente, você deve substituir a
verdadeira e seguir os mesmos passos.
Informações dadas: a única informação numérica explícita é a entrada
Informação que falta e que é necessária para obter valores numéricos: a função de transferência em malha aberta do tanque (ou seja,
Decisão tomada: vou (A) explicar o método geral correto que se usa para obter a resposta ao degrau a partir de
Passo 2
Como se obtém a resposta ao degrau em termos gerais\n
Se a função de transferência do processo em malha aberta for (relação Laplace entre entrada tensão e saída concentração), a saída em Laplace é
Se a função de transferência do processo em malha aberta for
Com
temos
Para achar
(a resposta temporal), fazemos a transformada inversa de Laplace de
. Em particular, o valor em regime permanente pode ser obtido sem inverter completamente usando o Teorema do Valor Final (quando o sistema é estável). O Teorema do Valor Final diz:
desde que todos os polos de
estejam à esquerda do eixo imaginário (ou seja, o sistema seja estável e as condições do teorema sejam satisfeitas). Isso será usado a seguir.
Passo 3
Cálculo do valor em regime permanente — expressão geral\n
Aplicando o Teorema do Valor Final a obtemos
Aplicando o Teorema do Valor Final a
Interpretação: o valor final da concentração é a amplitude do degrau (
) multiplicada pelo ganho estático do processo
(ou seja, a avaliação da função de transferência em
). Portanto, para dar o valor numérico em regime permanente você só precisa do ganho em DC
. Exemplo conceitual: se
(ou seja, cada volt aplicado gera
unidades de concentração em regime), então o regime permanente será
(unidades de concentração).
Passo 4
Como determinar o tempo de acomodação de
(definição e método)\n
Definição: o tempo de acomodação de (denotado
) é o menor tempo após o qual a saída permanece dentro de
do valor final para todo
. Em fórmula:
Definição: o tempo de acomodação de
Para calcular esse tempo, precisamos da expressão temporal
. Isso depende da forma dos polos de
. No caso prático mais comum (tanque bem misturado com dinâmica de primeira ordem), há fórmulas simples, que eu mostro no próximo passo.
Passo 5
Modelo de primeira ordem (caso comum):
\n
Explicação dos parâmetros: é o ganho estático (unidades de concentração por volt) e
é a constante de tempo (segundos) que mede a rapidez do processo.\n
Calculemos a saída em Laplace:
Explicação dos parâmetros:
Calculemos a saída em Laplace:
Para inverter a Laplace, fazemos frações parciais ou lembramos a transformada padrão. A decomposição padrão dá uma resposta do tipo:
Passo a passo da inversão (resumido e didático): escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
e comparando coeficientes, obtemos
e
. A transformada inversa de
é
(um degrau), e de
é
. Assim surge a forma acima.
Passo 6
Valor em regime permanente para o modelo de 1ª ordem e verificação com Teorema do Valor Final\n
Tomando o limite na expressão de
:
Tomando o limite
Isso coincide com a fórmula geral
porque
. Observação: a estabilidade aqui exige
(polo em
no semiplano esquerdo).
Passo 7
Tempo de acomodação de
no caso de 1ª ordem (cálculo explícito)\n
Partimos da desigualdade que define :
Partimos da desigualdade que define
Cancelando
dos dois lados (assumimos ganho positivo; se for negativo a definição de tolerância usa valor absoluto do
):
Aplicando o logaritmo natural:
Numericamente
, portanto
Interpretação prática: para um sistema de primeira ordem, o tempo de acomodação para
é aproximadamente
vezes a constante de tempo.
Passo 8
Resumo operacional: como você aplica isso com os dados do seu problema\n
- Se você conhece
, calcule . O valor de regime permanente será . Use o Teorema do Valor Final se preferir.\n - Para saber o tempo de acomodação, analise os polos de
. Se for de primeira ordem , então . Se for de ordem maior, o tempo de acomodação é dominado pelos polos dominantes (aqueles com parte real mais próxima de zero) e o cálculo exige achar esses polos e escrever a resposta temporal (soma de exponenciais) e aplicar a desigualdade do .\n - Esboço do sinal (modo de fazer no rascunho da prova): para primeira ordem, trace uma curva exponencial que parte de
, cruza , aproxima-se assintoticamente de e marque o tempo onde a curva entra na faixa .
Resposta
O valor em regime permanente é
.\n
Se o sistema for de primeira ordem , então
, o regime permanente é
e o tempo de acomodação de
é
Se o sistema for de primeira ordem