( 1,0 ponto) Considere as dinâmicas da bomba dosadora e do tanque de mistura, respectivamente:
Sendo as condições inicias nulas, as funções de transferência da bomba e do tanque são dadas por:
com
Determine a função de transferência que relaciona a variável controlada com a manipulada.
Passo 1
O enunciado dá duas dinâmicas em tempo contínuo (com condições iniciais nulas) e já fornece as funções de transferência individuais. O que precisamos encontrar é a função de transferência que relaciona a variável controlada
com a manipulada
, ou seja,
.
Informações fornecidas (vou escrever cada constante em TeX):
Pergunta: determinar
.
Passo 2
Conceito importante (aula rápida e prática): quando temos dois sistemas lineares e invariantes no tempo em série (em cascata), com saída de um alimentando a entrada do outro, a função de transferência do conjunto (da entrada original até a saída final) é o produto das funções de transferência individuais, desde que as condições iniciais sejam nulas. Em símbolos:
Isso decorre da propriedade da transformada de Laplace para sistemas lineares: multiplicação no domínio de Laplace corresponde à composição em série dos blocos.
Passo 3
Aplicando a propriedade de cascata aos dados do enunciado, escrevemos a expressão simbólica da transferência total:
Reorganizando:
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos das constantes. Primeiro o ganho em malha:
Logo a transferência fica:
Passo 5
Vamos multiplicar os dois fatores do denominador (foi-se a aula de álgebra: FOIL — primeiro, exterior, interior, último). Calculamos:
Compute cada termo:
Portanto o denominador expandido é
Passo 6
Escrevendo a função de transferência total na forma expandida, obtemos:
Passo 7
Pequena interpretação útil para a prova: o ganho DC (valor em regime permanente para entrada degrau de amplitude unitária) é dado por
. Basta colocar
na TF:
Isso te dá uma verificação rápida de coerência numérica.