( 1,0 ponto) Considere as dinâmicas da bomba dosadora e do tanque de mistura, respectivamente:
\begin{aligned} & \tau_{b} \frac{d c_{b}(t)}{d t}+c_{b}(t)=K_{b} u(t) \\\ & \tau_{t} \frac{d c_{t}(t)}{d t}+c_{t}(t)=K_{t} c_{b}(t) \end{aligned}
Sendo as condições inicias nulas, as funções de transferência da bomba e do tanque são dadas por:
\begin{aligned} \frac{C_{b}(s)}{U(s)} & =\frac{K_{b}}{\tau_{b} s+1} \\\ \frac{C_{t}(s)}{C_{b}(s)} & =\frac{K_{t}}{\tau_{t} s+1} \end{aligned}
com
K_{b}=0.8 ; \quad \tau_{b}=0.4 \mathrm{~s} ; \quad K_{t}=1.5 ; \quad \tau_{t}=1.8 \mathrm{~s}
Determine a função de transferência que relaciona a variável controlada com a manipulada.

Passo 1

O enunciado dá duas dinâmicas em tempo contínuo (com condições iniciais nulas) e já fornece as funções de transferência individuais. O que precisamos encontrar é a função de transferência que relaciona a variável controlada c_{t}(t) com a manipulada u(t), ou seja, \dfrac{C_{t}(s)}{U(s)}.
Informações fornecidas (vou escrever cada constante em TeX):
\frac{C_{b}(s)}{U(s)}=\frac{K_{b}}{\tau_{b}s+1},\qquad \frac{C_{t}(s)}{C_{b}(s)}=\frac{K_{t}}{\tau_{t}s+1}
K_{b}=0{,}8,\quad \tau_{b}=0{,}4\\ \text{s},\quad K_{t}=1{,}5,\quad \tau_{t}=1{,}8\\ \text{s}
Pergunta: determinar \dfrac{C_{t}(s)}{U(s)}.

Passo 2

Conceito importante (aula rápida e prática): quando temos dois sistemas lineares e invariantes no tempo em série (em cascata), com saída de um alimentando a entrada do outro, a função de transferência do conjunto (da entrada original até a saída final) é o produto das funções de transferência individuais, desde que as condições iniciais sejam nulas. Em símbolos:
\frac{C_{t}(s)}{U(s)} = \frac{C_{t}(s)}{C_{b}(s)}\cdot\frac{C_{b}(s)}{U(s)}
Isso decorre da propriedade da transformada de Laplace para sistemas lineares: multiplicação no domínio de Laplace corresponde à composição em série dos blocos.

Passo 3

Aplicando a propriedade de cascata aos dados do enunciado, escrevemos a expressão simbólica da transferência total:
\frac{C_{t}(s)}{U(s)}=\frac{K_{t}}{\tau_{t}s+1}\cdot\frac{K_{b}}{\tau_{b}s+1}
Reorganizando:
\frac{C_{t}(s)}{U(s)}=\frac{K_{b}K_{t}}{(\tau_{b}s+1)(\tau_{t}s+1)}

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos das constantes. Primeiro o ganho em malha:
K_{b}K_{t}=0{,}8\times 1{,}5=1{,}2
Logo a transferência fica:
\frac{C_{t}(s)}{U(s)}=\frac{1{,}2}{(0{,}4s+1)(1{,}8s+1)}

Passo 5

Vamos multiplicar os dois fatores do denominador (foi-se a aula de álgebra: FOIL — primeiro, exterior, interior, último). Calculamos:
(0{,}4s+1)(1{,}8s+1)=0{,}4\cdot 1{,}8\,s^{2}+(0{,}4+1{,}8)\,s+1
Compute cada termo:
0{,}4\cdot 1{,}8=0{,}72
0{,}4+1{,}8=2{,}2
Portanto o denominador expandido é
0{,}72\,s^{2}+2{,}2\,s+1

Passo 6

Escrevendo a função de transferência total na forma expandida, obtemos:
\frac{C_{t}(s)}{U(s)}=\frac{1{,}2}{0{,}72\,s^{2}+2{,}2\,s+1}

Passo 7

Pequena interpretação útil para a prova: o ganho DC (valor em regime permanente para entrada degrau de amplitude unitária) é dado por \displaystyle G(0)=\frac{C_{t}(0)}{U(0)}. Basta colocar s=0 na TF:
G(0)=\frac{1{,}2}{1}=1{,}2.
Isso te dá uma verificação rápida de coerência numérica.

Resposta

\frac{C_{t}(s)}{U(s)}=\frac{1{,}2}{(0{,}4s+1)(1{,}8s+1)}
\frac{C_{t}(s)}{U(s)}=\frac{1{,}2}{0{,}72\,s^{2}+2{,}2\,s+1}

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