Uma corda de violino tem massa 800 mg e comprimento
. Se a frequência fundamental é 914 Hz , determine:
(a) a velocidade das ondas na corda;
Resposta:
(b) a tensão na corda e ,
Resposta:
(c) o comprimento de onda das ondas na corda para o modo fundamental.
Resposta:
(d) Qual é o comprimento de onda das ondas sonoras emitidas no ar pela corda vibrando na sua frequência fundamental?
Resposta:
(a) a velocidade das ondas na corda;
(b) a tensão na corda e ,
(c) o comprimento de onda das ondas na corda para o modo fundamental.
(d) Qual é o comprimento de onda das ondas sonoras emitidas no ar pela corda vibrando na sua frequência fundamental?
Passo 1
O enunciado dá uma corda de violino com massa
e comprimento
. A frequência fundamental é
. Pede-se:
(a) a velocidade das ondas na corda;
(b) a tensão na corda;
(c) o comprimento de onda das ondas na corda para o modo fundamental;
(d) o comprimento de onda das ondas sonoras emitidas no ar pela corda vibrando na sua frequência fundamental.
Informações relevantes fornecidas:
,
,
.
A resolução começa agora.
(a) a velocidade das ondas na corda;
(b) a tensão na corda;
(c) o comprimento de onda das ondas na corda para o modo fundamental;
(d) o comprimento de onda das ondas sonoras emitidas no ar pela corda vibrando na sua frequência fundamental.
Informações relevantes fornecidas:
A resolução começa agora.
Passo 2
Converto as unidades para o SI (porque as fórmulas físicas usam o SI):
Também vou precisar da densidade linear de massa (massa por comprimento), definida como
. Não calculo ainda, só deixo a definição clara.
Passo 3
Explico a fórmula do modo fundamental para uma corda fixa nas duas extremidades.
Quando a corda vibra no modo fundamental (primeiro harmônico) ela tem dois nós nas extremidades e um ventre no meio: o comprimento da corda corresponde a meia onda. Portanto o comprimento de onda da onda na corda no modo fundamental satisfaz
Quando a corda vibra no modo fundamental (primeiro harmônico) ela tem dois nós nas extremidades e um ventre no meio: o comprimento da corda corresponde a meia onda. Portanto o comprimento de onda da onda na corda no modo fundamental satisfaz
A relação entre velocidade de onda
, comprimento de onda
e frequência
é a relação universal das ondas:
Aplicando isso ao modo fundamental da corda, com
, obtemos a relação utilizada para cordas:
Dessa equação podemos encontrar
isolando
:
Passo 4
Calculo a velocidade
usando
.
Faço a multiplicação passo a passo:
Arredondando com sentido prático (dados com 3 algarismos significativos), tomo
Passo 5
Agora explico a relação entre velocidade da onda na corda e a tensão: para uma corda com densidade linear
sob tensão
, a velocidade das ondas é
Aqui
é a massa por unidade de comprimento:
. Essa fórmula vem da equação de onda para uma corda tensa (não vou derivar toda a PDE agora, mas o resultado físico é esse: maior tensão -> ondas mais rápidas; maior massa por comprimento -> ondas mais lentas).
Passo 6
Calculo
e depois a tensão
.
Primeiro :
Primeiro
Agora isolo
em
:
Substituo
e
(uso
para maior precisão nos cálculos intermediários):
Calculo
:
Multiplicando:
Arredondando de acordo com os dados (3 algarismos significativos):
Passo 7
Calculo o comprimento de onda na corda para o modo fundamental (já usado antes):
Posso também verificar via
:
o que confirma.
Passo 8
Agora o comprimento de onda das ondas sonoras no ar emitidas pela corda: o som no ar tem velocidade diferente da onda na corda. A relação entre velocidade do som no ar
, frequência
(a mesma frequência da corda) e comprimento de onda no ar
é
O problema não deu explicitamente a velocidade do som no ar, então uso o valor comum à temperatura ambiente (por volta de
):
Então
Arredondando razoavelmente:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)