Uma corda de violino tem massa 800 mg e comprimento 22,0 \mathrm{~cm}. Se a frequência fundamental é 914 Hz , determine:
(a) a velocidade das ondas na corda;
Resposta: \square
(b) a tensão na corda e ,
Resposta: \square
(c) o comprimento de onda das ondas na corda para o modo fundamental.
Resposta: \square
(d) Qual é o comprimento de onda das ondas sonoras emitidas no ar pela corda vibrando na sua frequência fundamental?
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado dá uma corda de violino com massa \,800\\ \mathrm{mg}\, e comprimento \,22{,}0\\ \mathrm{cm}\,. A frequência fundamental é \,914\\ \mathrm{Hz}\,. Pede-se:
(a) a velocidade das ondas na corda;
(b) a tensão na corda;
(c) o comprimento de onda das ondas na corda para o modo fundamental;
(d) o comprimento de onda das ondas sonoras emitidas no ar pela corda vibrando na sua frequência fundamental.
Informações relevantes fornecidas:
\,m=800\\ \mathrm{mg}, \,L=22{,}0\\ \mathrm{cm}, \,f_1=914\\ \mathrm{Hz}.
A resolução começa agora.

Passo 2

Converto as unidades para o SI (porque as fórmulas físicas usam o SI):
m = 800\\ \mathrm{mg} = 800\times 10^{-6}\\ \mathrm{kg} = 0{,}0008\\ \mathrm{kg}.
L = 22{,}0\\ \mathrm{cm} = 0{,}22\\ \mathrm{m}.
Também vou precisar da densidade linear de massa (massa por comprimento), definida como \mu = \dfrac{m}{L}. Não calculo ainda, só deixo a definição clara.

Passo 3

Explico a fórmula do modo fundamental para uma corda fixa nas duas extremidades.
Quando a corda vibra no modo fundamental (primeiro harmônico) ela tem dois nós nas extremidades e um ventre no meio: o comprimento da corda corresponde a meia onda. Portanto o comprimento de onda da onda na corda no modo fundamental satisfaz
\lambda_{\text{corda}} = 2L.
A relação entre velocidade de onda v, comprimento de onda \lambda e frequência f é a relação universal das ondas:
v = \lambda f.
Aplicando isso ao modo fundamental da corda, com \lambda_{\text{corda}}=2L, obtemos a relação utilizada para cordas:
f_1 = \frac{v}{2L}.
Dessa equação podemos encontrar v isolando v:
v = 2L f_1.

Passo 4

Calculo a velocidade v usando \,v=2Lf_1.
v = 2\cdot(0{,}22\\ \mathrm{m})\cdot(914\\ \mathrm{Hz}).
Faço a multiplicação passo a passo:
2\cdot 0{,}22 = 0{,}44,
v = 0{,}44 \times 914 = 402{,}16\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando com sentido prático (dados com 3 algarismos significativos), tomo
v \approx 402\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Agora explico a relação entre velocidade da onda na corda e a tensão: para uma corda com densidade linear \mu sob tensão T, a velocidade das ondas é
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Aqui \mu é a massa por unidade de comprimento: \mu = \dfrac{m}{L}. Essa fórmula vem da equação de onda para uma corda tensa (não vou derivar toda a PDE agora, mas o resultado físico é esse: maior tensão -> ondas mais rápidas; maior massa por comprimento -> ondas mais lentas).

Passo 6

Calculo \mu e depois a tensão T.
Primeiro \mu:
\mu = \frac{m}{L} = \frac{0{,}0008\\ \mathrm{kg}}{0{,}22\\ \mathrm{m}} = 0{,}0036363636\\ \mathrm{kg/m}.
Agora isolo T em v = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}}:
T = \mu v^2.
Substituo \mu e v (uso v=402{,}16\\ \mathrm{m/s} para maior precisão nos cálculos intermediários):
T = 0{,}0036363636\\ \mathrm{kg/m}\times (402{,}16\\ \mathrm{m/s})^2.
Calculo v^2:
(402{,}16)^2 = 161732{,}6656\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Multiplicando:
T = 0{,}0036363636\times 161732{,}6656 \approx 588{,}12\\ \mathrm{N}.
Arredondando de acordo com os dados (3 algarismos significativos):
T \approx 5{,}88\times 10^{2}\\ \mathrm{N} \quad\text{ou}\quad T \approx 588\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Calculo o comprimento de onda na corda para o modo fundamental (já usado antes):
\lambda_{\text{corda}} = 2L = 2\cdot 0{,}22\\ \mathrm{m} = 0{,}44\\ \mathrm{m}.
Posso também verificar via \lambda = v/f:
\lambda = \frac{402{,}16}{914} = 0{,}44\\ \mathrm{m},
o que confirma.

Passo 8

Agora o comprimento de onda das ondas sonoras no ar emitidas pela corda: o som no ar tem velocidade diferente da onda na corda. A relação entre velocidade do som no ar v_{\text{ar}}, frequência f (a mesma frequência da corda) e comprimento de onda no ar \lambda_{\text{ar}} é
\lambda_{\text{ar}} = \frac{v_{\text{ar}}}{f}.
O problema não deu explicitamente a velocidade do som no ar, então uso o valor comum à temperatura ambiente (por volta de 20^\circ\mathrm{C}):
v_{\text{ar}} \approx 343\\ \mathrm{m/s}.
Então
\lambda_{\text{ar}} = \frac{343\\ \mathrm{m/s}}{914\\ \mathrm{Hz}} \approx 0{,}375\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente:
\lambda_{\text{ar}} \approx 0{,}375\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) v \approx 402\\ \mathrm{m/s}
(b) T \approx 588\\ \mathrm{N}
(c) \lambda_{\text{corda}} = 0{,}44\\ \mathrm{m}
(d) \lambda_{\text{ar}} \approx 0{,}375\\ \mathrm{m}

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