Uma fonte pontual produz ondas sonoras esféricas de frequência 2000 Hz que viajam a 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no ar, cuja massa específica vale 1,21 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Uma pessoa mede 0,960 \mathrm{~mW} / \mathrm{m}^{2} para intensidade do som a uma distância de 6,10 \mathrm{~m}. Presuma que não há reflexões e que a fonte emite o mesmo som em todas as direções.
(a) Qual o nível de intensidade sonora (em dB) a 6,10 m?
Atenção aos algarismos significativos, se necessário use a notação científica (por exemplo: 0,0001=1,0 \mathrm{E}-04 ou 10000=1,0 \mathrm{E} 04 )
Resposta: \square
(b) Qual a amplitude de deslocamento a 6,10 \mathrm{~m} ?
Resposta: \square
(c) Qual a amplitude de pressão a 6,10 \mathrm{~m} ?
Resposta: \square
(d) Determine a intensidade a 94 m .
Resposta: \square
(e) Qual a amplitude de deslocamento a 94 m ?
Resposta: \square
(f) Qual a amplitude de pressão a 94 m ?
Resposta: \square

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e perguntas (vou listar tudo pra não nos perder):
\text{frequência } f = 2000\\ \mathrm{Hz}ê
\text{velocidade do som } c = 343\\ \mathrm{m/s}
\text{massa específica do ar } \rho = 1{,}21\\ \mathrm{kg/m^{3}}í
\text{intensidade medida em } r_{1}=6{,}10\\ \mathrm{m}:\quad I_{1}=0{,}960\\ \mathrm{mW/m^{2}}
Pressuposições dadas: fonte pontual isotrópica (mesmo som em todas as direções), sem reflexões.
Perguntas:
(a) nível de intensidade sonora (dB) a 6{,}10\\ \mathrm{m};
(b) amplitude de deslocamento (amplitude do deslocamento de partícula) a 6{,}10\\ \mathrm{m};
(c) amplitude de pressão a 6{,}10\\ \mathrm{m};
(d) intensidade a 94\\ \mathrm{m};
(e) amplitude de deslocamento a 94\\ \mathrm{m};
(f) amplitude de pressão a 94\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Primeiro convertemos a intensidade dada para unidades SI (watts por metro quadrado). O enunciado deu
I_{1}=0{,}960\\ \mathrm{mW/m^{2}}=0{,}960\times10^{-3}\\ \mathrm{W/m^{2}}=9{,}60\times10^{-4}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Vou usar essa forma I_{1}=9{,}60\times10^{-4}\\ \mathrm{W/m^{2}} nas contas.

Passo 3

(a) Nível de intensidade sonora em decibéis: a definição é
\beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_{0}}\right),
onde I_{0}=1{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{W/m^{2}} é a intensidade de referência. Substituindo I=I_{1},
\beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{9{,}60\times10^{-4}}{1{,}0\times10^{-12}}\right) =10\log_{10}\!\left(9{,}60\times10^{8}\right).
Calculemos o logaritmo em partes:
\log_{10}(9{,}60\times10^{8})=\log_{10}(9{,}60)+8\approx0{,}9823+8=8{,}9823.
Logo
\beta=10\times8{,}9823=89{,}823\\ \mathrm{dB}\approx89{,}8\\ \mathrm{dB}.
(Arredondei para três algarismos significativos coerentes com os dados.)

Passo 4

(b) Relação entre intensidade e amplitude de deslocamento: para uma onda sonora progressiva harmônica (localmente válida mesmo para uma frente esférica), a intensidade média é dada por
I=\frac{1}{2}\,\rho\,c\,\omega^{2}\,\xi_{m}^{2},
onde
\xi_{m} é a amplitude do deslocamento das partículas do meio (metros),
\omega=2\pi f é a frequência angular (rad/s),
\rho é a densidade e c a velocidade do som. Essa fórmula vem de combinar a energia cinética e potencial médias da onda sonora; não precisa decorar, basta lembrar que I é proporcional a \xi_{m}^{2} e cresce com \omega^{2}, \rho e c.
Calculemos \omega:
\omega=2\pi f=2\pi\times2000=4000\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx12566{,}37\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Isolamos \xi_{m}:
\xi_{m}=\sqrt{\frac{2I}{\rho c \omega^{2}}}.
Substituindo os números (mostrando passo a passo):
\rho c = 1{,}21\times343=415{,}03\\ \mathrm{kg/(m^{2}s)}.
\omega^{2}\approx(12566{,}37)^{2}=1{,}5791367\times10^{8}\\ \mathrm{rad^{2}/s^{2}}.
\rho c\,\omega^{2}=415{,}03\times1{,}5791367\times10^{8}\approx6{,}553891\times10^{10}.
\frac{2I_{1}}{\rho c \omega^{2}}=\frac{2\times9{,}60\times10^{-4}}{6{,}553891\times10^{10}} =\frac{1{,}92\times10^{-3}}{6{,}553891\times10^{10}}\approx2{,}93\times10^{-14}.
Tomando a raíz quadrada,
\xi_{m1}\approx\sqrt{2{,}93\times10^{-14}}\approx1{,}71\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Esse é o valor da amplitude de deslocamento a 6{,}10\\ \mathrm{m}.

Passo 6

(c) Amplitude de pressão: para uma onda sonora progressiva vale a relação (duas formas equivalentes)
p_{m}=\rho c \,\omega\,\xi_{m} \quad\text{ou}\quad p_{m}=\sqrt{2\rho c I}.
A segunda é prática porque evita usar \xi_{m} explicitamente. Vamos usar
p_{m}=\sqrt{2\rho c I_{1}}.
Calculemos:
2\rho c I_{1}=2\times1{,}21\times343\times9{,}60\times10^{-4} =0{,}796858\quad(\text{unidade } \mathrm{Pa^{2}}).
p_{m1}=\sqrt{0{,}796858}\approx0{,}893\\ \mathrm{Pa}.
(Nosso cálculo pelo produto \rho c\omega\xi_{m} daria o mesmo resultado, foi apenas verificação.)

Passo 7

(d) Intensidade a r_{2}=94\\ \mathrm{m}: para uma fonte pontual isotrópica sem perdas,
I(r)=\frac{P}{4\pi r^{2}},
onde P é a potência total da fonte. Como P=I_{1}\,4\pi r_{1}^{2}, temos a relação simples
I_{2}=I_{1}\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}.
Substituindo:
\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)=\frac{6{,}10}{94}\approx0{,}0648936,
\left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}\approx0{,}0042119,
I_{2}=9{,}60\times10^{-4}\times0{,}0042119\approx4{,}04\times10^{-6}\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 8

(e) Amplitude de deslocamento a 94\\ \mathrm{m}: como \xi_{m}\propto\sqrt{I} (veja a fórmula do passo 4), e I\propto1/r^{2}, segue \xi_{m}\propto1/r. Logo basta escalonar:
\xi_{m2}=\xi_{m1}\frac{r_{1}}{r_{2}}.
Substituindo:
\xi_{m2}=1{,}71\times10^{-7}\times\frac{6{,}10}{94}\approx1{,}11\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.

Passo 9

(f) Amplitude de pressão a 94\\ \mathrm{m}: a amplitude de pressão p_{m} escala como \sqrt{I}, portanto também \propto1/r. Assim
p_{m2}=p_{m1}\frac{r_{1}}{r_{2}}.
Substituindo:
p_{m2}=0{,}893\\ \mathrm{Pa}\times\frac{6{,}10}{94}\approx5{,}79\times10^{-2}\\ \mathrm{Pa}.

Resposta

(a) 89{,}8\\ \mathrm{dB}
(b) 1{,}71\times10^{-7}\\ \mathrm{m}
(c) 8{,}93\times10^{-1}\\ \mathrm{Pa}
(d) 4{,}04\times10^{-6}\\ \mathrm{W/m^{2}}
(e) 1{,}11\times10^{-8}\\ \mathrm{m}
(f) 5{,}79\times10^{-2}\\ \mathrm{Pa}

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