0 potencial elétrico na superfície de uma esfera oca de raio R é
, onde
é uma constante. Neste problema usamos coordenadas esféricas com a origem no centro da casca. Prove que o potencial dentro da casca é dado por:
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
- Há uma casca esférica oca de raio
. - Na superfície da casca (ou seja, em
) o potencial elétrico é
onde
é uma constante e usamos coordenadas esféricas com origem no centro da casca.
- Queremos provar que, no interior da casca (ou seja, para
), o potencial é
Informações implícitas importantes (que usaremos): dentro da casca não há cargas livres, logo o potencial satisfaz a equação de Laplace; o problema tem simetria azimutal (não depende do ângulo
), pois a condição de contorno só depende de
.
Passo 2
Escrevendo a equação que governará o potencial dentro da casca: como não há cargas em
, o potencial satisfaz a equação de Laplace
Em coordenadas esféricas, para uma função que não depende de
(simetria azimutal), o laplaciano é
Vamos usar separação de variáveis: suponha uma solução da forma
Substituindo na equação e dividindo por
obtemos
Multiplicando por
e rearranjando:
O lado esquerdo depende só de
e o direito só de
, então ambos devem ser iguais a uma constante, que convencionalmente escrevemos como
(essa escolha é útil e padrão nas equações angulares esféricas). Assim obtemos duas equações ordinárias:
radial:
angular:
Passo 3
A equação angular é conhecida: ao escrever
ela se transforma na equação de Legendre
cuja solução regular em
são os polinômios de Legendre
. Portanto as funções angulares regulares são
Importante:
, ou seja
.
Passo 4
A equação radial acima tem solução geral
onde
e
são constantes a determinar. Para o interior da esfera (região
) exigimos que o potencial seja finito em
. O termo
diverge na origem para todo
, então devemos tomar
para todas as contribuições regulares no interior. Assim a solução geral regular em
é uma série em potências positivas:
Essa forma é padrão: combina os modos angulares
com dependência radial
para garantir regularidade no interior.
Passo 5
Agora aplicamos a condição de contorno na superfície
:
Mas
é exatamente
. Assim a expansão em polinômios de Legendre do contorno tem apenas o termo
diferente de zero. Comparando coeficientes na base ortogonal
obtemos que todos
para
, e para
Logo, dentro da casca a soma reduz-se a um único termo
:
Passo 6
Para fechar com uma observação conceitual: pela unicidade da solução da equação de Laplace com contorno especificado na superfície (teorema da unicidade), a solução encontrada é a única que satisfaz
em
, é regular em
e iguala
em
. Portanto a solução é definitiva.