0 potencial elétrico na superfície de uma esfera oca de raio R é V(\theta)=V_{0} \cos \theta, onde V_{0} é uma constante. Neste problema usamos coordenadas esféricas com a origem no centro da casca. Prove que o potencial dentro da casca é dado por: V(r, \theta)=\left(V_{0} r \cos \theta\right) / R.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
  • Há uma casca esférica oca de raio R.
  • Na superfície da casca (ou seja, em r=R) o potencial elétrico é
V(R,\theta)=V_{0}\cos\theta,
onde V_{0} é uma constante e usamos coordenadas esféricas com origem no centro da casca.
  • Queremos provar que, no interior da casca (ou seja, para r<R), o potencial é
V(r,\theta)=\frac{V_{0}\,r\cos\theta}{R}.
Informações implícitas importantes (que usaremos): dentro da casca não há cargas livres, logo o potencial satisfaz a equação de Laplace; o problema tem simetria azimutal (não depende do ângulo \varphi), pois a condição de contorno só depende de \theta.

Passo 2

Escrevendo a equação que governará o potencial dentro da casca: como não há cargas em r<R, o potencial satisfaz a equação de Laplace
\nabla^{2}V=0.
Em coordenadas esféricas, para uma função que não depende de \varphi (simetria azimutal), o laplaciano é
\nabla^{2}V=\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\Big(r^{2}\frac{\partial V}{\partial r}\Big)+\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\Big(\sin\theta\frac{\partial V}{\partial\theta}\Big)=0.
Vamos usar separação de variáveis: suponha uma solução da forma
V(r,\theta)=R(r)\,\Theta(\theta).
Substituindo na equação e dividindo por R(r)\Theta(\theta) obtemos
\frac{1}{R}\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\Big(r^{2}\frac{dR}{dr}\Big)+\frac{1}{\Theta}\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\Big(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\Big)=0.
Multiplicando por r^{2} e rearranjando:
\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\Big(r^{2}\frac{dR}{dr}\Big)=-\frac{1}{\Theta}\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\Big(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\Big).
O lado esquerdo depende só de r e o direito só de \theta, então ambos devem ser iguais a uma constante, que convencionalmente escrevemos como l(l+1) (essa escolha é útil e padrão nas equações angulares esféricas). Assim obtemos duas equações ordinárias:
radial:
\frac{d}{dr}\Big(r^{2}\frac{dR}{dr}\Big)-l(l+1)R=0,
angular:
\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\Big(\sin\theta\frac{d\Theta}{d\theta}\Big)+l(l+1)\Theta=0.

Passo 3

A equação angular é conhecida: ao escrever x=\cos\theta ela se transforma na equação de Legendre
\frac{d}{dx}\Big((1-x^{2})\frac{dP}{dx}\Big)+l(l+1)P=0,
cuja solução regular em [-1,1] são os polinômios de Legendre P_{l}(x). Portanto as funções angulares regulares são
\Theta(\theta)=P_{l}(\cos\theta).
Importante: P_{1}(x)=x, ou seja P_{1}(\cos\theta)=\cos\theta.

Passo 4

A equação radial acima tem solução geral
R(r)=A_{l}\,r^{l}+B_{l}\,r^{-(l+1)},
onde A_{l} e B_{l} são constantes a determinar. Para o interior da esfera (região r<R) exigimos que o potencial seja finito em r=0. O termo r^{-(l+1)} diverge na origem para todo l\ge 0, então devemos tomar B_{l}=0 para todas as contribuições regulares no interior. Assim a solução geral regular em r=0 é uma série em potências positivas:
V(r,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty} A_{l}\,r^{l}P_{l}(\cos\theta).
Essa forma é padrão: combina os modos angulares P_{l} com dependência radial r^{l} para garantir regularidade no interior.

Passo 5

Agora aplicamos a condição de contorno na superfície r=R:
V(R,\theta)=\sum_{l=0}^{\infty} A_{l}\,R^{l}P_{l}(\cos\theta)=V_{0}\cos\theta.
Mas \cos\theta é exatamente P_{1}(\cos\theta). Assim a expansão em polinômios de Legendre do contorno tem apenas o termo l=1 diferente de zero. Comparando coeficientes na base ortogonal \{P_{l}\} obtemos que todos A_{l}=0 para l\neq 1, e para l=1
A_{1}R^{1}=V_{0}\quad\Rightarrow\quad A_{1}=\frac{V_{0}}{R}.
Logo, dentro da casca a soma reduz-se a um único termo l=1:
V(r,\theta)=A_{1}\,r^{1}P_{1}(\cos\theta)=\frac{V_{0}}{R}\,r\cos\theta.

Passo 6

Para fechar com uma observação conceitual: pela unicidade da solução da equação de Laplace com contorno especificado na superfície (teorema da unicidade), a solução encontrada é a única que satisfaz \nabla^{2}V=0 em r<R, é regular em r=0 e iguala V_{0}\cos\theta em r=R. Portanto a solução é definitiva.

Resposta

V(r,\theta)=\frac{V_{0}\,r\cos\theta}{R}

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