Uma das cordas de uma guitarra está esticada ao longo do eixo Ox quando está em equilíbrio. A extremidade da corda em
(a ponte da guitarra) está presa. Uma onda senoidal incidente desloca-se pela corda no sentido -x com uma velocidade de
, uma amplitude de
e uma frequência de 440 Hz. Essa onda é refletida na extremidade fixa em
e a superposição da onda progressiva incidente e da onda progressiva refletida, forma uma onda estacionária.
a) Encontre a equação que fornece o deslocamento de um ponto na corda em função da posição e do tempo.
b) Localize os pontos da corda que não se movem.
c) Encontre a amplitude, a velocidade transversal máxima e a aceleração transversal máxima nos pontos de oscilação máxima.
a) Encontre a equação que fornece o deslocamento de um ponto na corda em função da posição e do tempo.
b) Localize os pontos da corda que não se movem.
c) Encontre a amplitude, a velocidade transversal máxima e a aceleração transversal máxima nos pontos de oscilação máxima.
Passo 1
Beleza, o exercício é sobre ondas numa corda presa em
, que sofre uma onda senoidal de amplitude
mm, frequência
Hz, indo no sentido
a
m/s. Quando a onda chega em
(extremidade fixa), ela se reflete com inversão de fase e, ao se somar incidente+refletida, forma uma onda estacionária.
Conteúdo: superposição de ondas, reflexão em extremidade fixa (inversão de fase), identificação de nós/ventres, cálculo de e
, derivadas temporais para velocidade e aceleração.
Conteúdo: superposição de ondas, reflexão em extremidade fixa (inversão de fase), identificação de nós/ventres, cálculo de
Passo 2
Vamos achar a equação da onda estacionária.
- onda incidente, viajando para a esquerda (
):
2) onda refletida em extremidade fixa (inversão de fase) viajando para a direita:
- soma das duas:
$$y(x,t)=y_i+y_r
=A\bigl[\sin(\omega t + kx)-\sin(\omega t - kx)\bigr].
\alpha=\omega t+kx,\quad \beta=\omega t-kx,$$
vem
Agora, como
a equação final é
$$\boxed{y(x,t)=2A,\sin(kx),\cos(\omega t)
=2,(0{,}750\mathrm{,mm});\sin(19{,}33,x),\cos(2764{,}6,t).}$$
Passo 3
Nós (pontos que não se movem) estão onde
, ou seja
$$k x=n\pi\quad\Longrightarrow\quad x_n=\frac{n\pi}{k}
=\frac{n\lambda}{2}\quad(n=0,1,2,\dots).$$
Assim, m,;\tfrac{2\lambda}2=0{,}325,$m etc.
Assim,
Passo 4
Ventres (máxima oscilação) estão onde
, ou seja
$$kx=\frac{(2n+1)\pi}{2}\quad\Longrightarrow\quad
x=\frac{(2n+1)\lambda}{4}=\frac{(2n+1),0{,}325}{4},\mathrm{m}.$$
Amplitude do ventre:
Velocidade transversal máxima num ventre (derivada em relação a
):
Aceleração transversal máxima num ventre (segunda derivada):
Resposta
a)
, com
mm,
rad/m,
rad/s.
b) Nós em (
).
c) Amplitude do ventre mm; velocidade máxima
m/s; aceleração máxima
m/s².
b) Nós em
c) Amplitude do ventre