Uma das cordas de uma guitarra está esticada ao longo do eixo Ox quando está em equilíbrio. A extremidade da corda em x=0 (a ponte da guitarra) está presa. Uma onda senoidal incidente desloca-se pela corda no sentido -x com uma velocidade de 143 m / s, uma amplitude de 0,750 mm e uma frequência de 440 Hz. Essa onda é refletida na extremidade fixa em x=0 e a superposição da onda progressiva incidente e da onda progressiva refletida, forma uma onda estacionária.
a) Encontre a equação que fornece o deslocamento de um ponto na corda em função da posição e do tempo.
b) Localize os pontos da corda que não se movem.
c) Encontre a amplitude, a velocidade transversal máxima e a aceleração transversal máxima nos pontos de oscilação máxima.

Passo 1

Beleza, o exercício é sobre ondas numa corda presa em x=0, que sofre uma onda senoidal de amplitude A=0,750,mm, frequência f=440,Hz, indo no sentido -x a v=143,m/s. Quando a onda chega em x=0 (extremidade fixa), ela se reflete com inversão de fase e, ao se somar incidente+refletida, forma uma onda estacionária.
Conteúdo: superposição de ondas, reflexão em extremidade fixa (inversão de fase), identificação de nós/ventres, cálculo de k e omega, derivadas temporais para velocidade e aceleração.

Passo 2

Vamos achar a equação da onda estacionária.
  1. onda incidente, viajando para a esquerda ( -x):
yi(x,t)=Asinl(omega t + kxr)
2) onda refletida em extremidade fixa (inversão de fase) viajando para a direita:
yr(x,t)=-Asinl(omega t - kxr)
  1. soma das duas:
$$y(x,t)=y_i+y_r
=A\bigl[\sin(\omega t + kx)-\sin(\omega t - kx)\bigr]. y(x,t)=yi+yr =Al[sin(omega t + kx)-sin(omega t - kx)r]\alpha=\omega t+kx,\quad \beta=\omega t-kx,$$
vem
sinalpha-sinbeta=2cos!l(tfracalpha+beta2r),sin!l(tfracalpha-beta2r)
Agora, como
alpha=omega t+kx, beta=omega t-kx,
a equação final é
$$\boxed{y(x,t)=2A,\sin(kx),\cos(\omega t)
=2,(0{,}750\mathrm{,mm});\sin(19{,}33,x),\cos(2764{,}6,t).}$$

Passo 3

Nós (pontos que não se movem) estão onde sin(kx)=0, ou seja
$$k x=n\pi\quad\Longrightarrow\quad x_n=\frac{n\pi}{k}
=\frac{n\lambda}{2}\quad(n=0,1,2,\dots).$$
Assim, k x=npiLongrightarrow xn=npik =nlambda2(n=0,1,2,dots)m,;\tfrac{2\lambda}2=0{,}325,$m etc.

Passo 4

Ventres (máxima oscilação) estão onde |sin(kx)|=1, ou seja
$$kx=\frac{(2n+1)\pi}{2}\quad\Longrightarrow\quad
x=\frac{(2n+1)\lambda}{4}=\frac{(2n+1),0{,}325}{4},\mathrm{m}.$$
Amplitude do ventre:
kx=(2n+1)pi2Longrightarrow x=(2n+1)lambda4=(2n+1),0,3254,m
Velocidade transversal máxima num ventre (derivada em relação a Ymax=2A=2cdot0,750,mm=1,50,mm):
t
Aceleração transversal máxima num ventre (segunda derivada):
vy=partial ypartial t =-2A,omega,sin(kx),sin(omega t) Longrightarrow vy,max=2A,omega =2cdot0,00075cdot2764,6approx4,15 m/s

Resposta

a) y(x,t)=2Asin(kx)cos(omega t), com A=0,750,mm, kapprox19,33,rad/m, omegaapprox2764,6,rad/s.
b) Nós em xn=nlambda/2 ( n=0,1,2,dots).
c) Amplitude do ventre 1,50,mm; velocidade máxima approx4,15,m/s; aceleração máxima approx1,15times10^4,m/s².

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