As cordas de um violino, respectivamente mais leve e mais pesada, têm densidades lineares de
e
. Qual é à relação dos diâmetros dessas cordas. da mais pesada para a mais leve, supondo que são feitas do mesmo material?
Passo 1
Então, temos duas cordas de violino: uma mais leve com densidade linear de $ 3,0 , \mathrm{g/m} $ e outra mais pesada com densidade linear de $ 0,29 , \mathrm{g/m} $. Queremos descobrir a relação entre os diâmetros dessas cordas, da mais pesada para a mais leve, assumindo que elas são feitas do mesmo material. Para resolver isso, vamos precisar entender como a densidade linear está relacionada ao diâmetro das cordas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é densidade linear. A densidade linear ($ \mu $) é definida como a massa por unidade de comprimento da corda:
onde $ m $ é a massa e $ L $ é o comprimento da corda.
Passo 3
Como as duas cordas são feitas do mesmo material, elas têm a mesma densidade volumétrica ($ \rho
m
V $):
Passo 4
Vamos relacionar a massa da corda com seu volume. Rearranjando a fórmula da densidade, temos:
Passo 5
O volume ($ V
A
L $):
Como a corda tem seção transversal circular, a área é:
onde $ d $ é o diâmetro da corda.
Passo 6
Substituindo a área na expressão do volume:
Agora, substituindo $ V $ na equação da massa:
Passo 7
Como a densidade linear é $ \mu = \frac{m}{L} $, substituímos $ m $:
Rearranjando para encontrar $ d $:
Isso mostra que o diâmetro $ d $ é proporcional à raiz quadrada da densidade linear $ \mu $.
Passo 8
Para encontrar a relação dos diâmetros das duas cordas, vamos considerar as densidades lineares $ \mu_1 = 0,29 , \mathrm{g/m} $ (mais pesada) e $ \mu_2 = 3,0 , \mathrm{g/m} $ (mais leve). A razão dos diâmetros será:
Resposta
A relação dos diâmetros da corda mais pesada para a mais leve é aproximadamente $ 0,311 $. Ou seja, o diâmetro da corda mais pesada é cerca de 31,1% do diâmetro da corda mais leve.