Prove que, se uma onda transversal está se propagando ao longo de uma corda, então a inclinação de qualquer ponto da corda é numericamente iguad à razão entre a velocidade escalar da particula e a velocidade escalar da onda naquele ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, numa onda transversal que se propaga por uma corda, a inclinação (ou seja, a derivada da posição vertical em relação à posição horizontal) de qualquer ponto da corda é igual em valor absoluto à razão entre a velocidade do ponto (da partícula) e a velocidade da onda. Vamos usar conceitos de movimento ondulatório e derivadas para chegar nessa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma onda transversal é descrita por uma função $ y(x, t) $, que nos dá a posição vertical da corda em função da posição horizontal $ x $ e do tempo $ t $. A velocidade da onda $ v_{onda} $ é a velocidade com que a forma da onda se propaga ao longo da corda.
Passo 3
A velocidade da partícula da corda, $ v_{partícula} $, é a velocidade com que um ponto específico da corda se move para cima ou para baixo. Matematicamente, essa velocidade é dada pela derivada parcial da função $ y $ em relação ao tempo:
Passo 4
A inclinação da corda em um ponto $ x $ e tempo $ t $ é a derivada da função $ y(x, t) $ em relação a $ x $:
Passo 5
Sabemos que, para uma onda que se propaga sem distorção, podemos escrever a função da onda como:
onde $ f $ é uma função que descreve a forma da onda.
Passo 6
Vamos calcular a derivada parcial de $ y $ em relação ao tempo $ t $:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ y $ em relação a $ x $:
Logo,
Passo 8
Observando as duas expressões que obtivemos:
Tomando o valor absoluto de ambos os lados para ignorar o sinal:
Passo 9
Rearranjando a equação para obter a inclinação:
Resposta
Portanto, a inclinação de qualquer ponto da corda é igual ao valor absoluto da razão entre a velocidade da partícula e a velocidade da onda: