Corolário 14 Seja T um operador linear. Então T é inversível se, e somente se, [T]B é inversível.
Dem. Rightarrow) Seja T inversível, então existe T^-1 tal que T circ T^-1=T^-1 circ T=i dV, logo
[T circ T^-1]B=[T]B[T^-1]B=[i dV]B=In
Portanto, temos que [T^-1]B=[T]B^-1.
Leftarrow) Seja a matriz A=[T]B inversível, então existe uma única matriz A^-1 tal que In=A cdot A^-1=[T]B[U]B=[T circ U]B=[i dV], logo T é inversível como queríamos.

Passo 1

O enunciado pede para provar o seguinte corolário de Álgebra Linear: seja T:Vto V um operador linear em um espaço vetorial de dimensão n com base B. Então
T é invertível Long<=ftrightarrow [T]B é invertível éíéí
Para isso vamos usar duas propriedades fundamentais da representação matricial:
  1. l[Scirc Tr]B = [S]B,[T]B.
  2. l[idVr]B = In.

Passo 2

Prova da direção “ Rightarrow”: suponha que T seja invertível. Então existe T^-1:Vto V tal que
Tcirc T^-1 ;=; T^-1circ T ;=;idV
Aplicando a representação matricial em ambos os lados e usando as propriedades citadas, obtemos
[Tcirc T^-1]B = [T]B,[T^-1]B = [idV]B = In
Isso mostra que [T]B tem inversa [T^-1]B, logo [T]B é invertível.

Passo 3

Prova da direção “ Leftarrow”: suponha que a matriz A = [T]B seja invertível. Então existe matriz única A^-1 tal que
In = A,A^-1
Como A=[T]B, podemos escrever A^-1=[U]B para algum operador linear U:Vto V. Daí
[Tcirc U]B = [T]B,[U]B = A,A^-1 = In = [idV]B
Pela unicidade da representação matricial, Tcirc U=idV. De forma análoga chega-se a Ucirc T=idV. Logo T é invertível, com inversa U.

Resposta

O operador linear T é invertível se, e somente se, sua matriz [T]B é invertível.

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