Corolário 14 Seja
um operador linear. Então
é inversível se, e somente se,
é inversível.
Dem.
Seja
inversível, então existe
tal que
, logo
Portanto, temos que
.
Seja a matriz
inversível, então existe uma única matriz
tal que
, logo
é inversível como queríamos.
Passo 1
O enunciado pede para provar o seguinte corolário de Álgebra Linear: seja
um operador linear em um espaço vetorial de dimensão
com base
. Então
Para isso vamos usar duas propriedades fundamentais da representação matricial:
-
. -
.
Passo 2
Prova da direção “
”: suponha que
seja invertível. Então existe
tal que
Aplicando a representação matricial em ambos os lados e usando as propriedades citadas, obtemos
Isso mostra que
tem inversa
, logo
é invertível.
Passo 3
Prova da direção “
”: suponha que a matriz
seja invertível. Então existe matriz única
tal que
Como
, podemos escrever
para algum operador linear
. Daí
Pela unicidade da representação matricial,
. De forma análoga chega-se a
. Logo
é invertível, com inversa
.
Resposta
O operador linear
é invertível se, e somente se, sua matriz
é invertível.