Proposição 5.3.2 Sejam V um espaço vetorial e B=v1, ldots, vn uma base ordenada de V, e sejam U, T operadores lineares. Se [T]B=A, e [U]B=B, então [U circ T]B=B A.

Passo 1

O enunciado afirma que, para um espaço vetorial V de dimensão n com base ordenada B=v1,dots,vn, os operadores lineares T,U:Vto V têm matrizes [T]B=A e [U]B=B. Queremos mostrar que a matriz do operador composto Ucirc T na base B é o produto BA. Para isso precisamos usar (1) a definição de [T]B via colunas formadas pelas coordenadas de T(vj) e (2) a definição de produto de matrizes.

Passo 2

Pela definição de [T]B=A, para cada vetor da base vj temos
T(vj) ;=;sumi=1^nai j,vi,
onde aij é a entrada da matriz A na linha i e coluna j.

Passo 3

Agora aplicamos U ao vetor T(vj). Como [U]B=B, valem
U(vi) ;=;sumk=1^nbk i,vk
Logo,
(Ucirc T)(vj) =Ul(T(vj)r) =Ul(sumi=1^nai j,vir) =sumi=1^nai j,U(vi) =sumi=1^nai j,sumk=1^nbk i,vk

Passo 4

Reagrupando a soma dupla, obtemos
(Ucirc T)(vj) =sumk=1^nl(sumi=1^nbk i,ai jr),vk
Pelo modo como definimos produto de matrizes, o coeficiente sumi=1^nbk i,ai j é exatamente a entrada na linha k e coluna j do produto BA. Isso mostra que as colunas de [Ucirc T]B coincidem com as colunas de BA.

Resposta

Portanto,
[Ucirc T]B = B,A

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