Proposição 5.3.2 Sejam
um espaço vetorial e
uma base ordenada de
, e sejam
operadores lineares. Se
, e
, então
.
Passo 1
O enunciado afirma que, para um espaço vetorial
de dimensão
com base ordenada
, os operadores lineares
têm matrizes
e
. Queremos mostrar que a matriz do operador composto
na base
é o produto
. Para isso precisamos usar (1) a definição de
via colunas formadas pelas coordenadas de
e (2) a definição de produto de matrizes.
Passo 2
Pela definição de
, para cada vetor da base
temos
onde
é a entrada da matriz
na linha
e coluna
.
Passo 3
Agora aplicamos
ao vetor
. Como
, valem
Logo,
Passo 4
Reagrupando a soma dupla, obtemos
Pelo modo como definimos produto de matrizes, o coeficiente
é exatamente a entrada na linha
e coluna
do produto
. Isso mostra que as colunas de
coincidem com as colunas de
.
Resposta
Portanto,