P 11.13. Seja V um espaço linear. Diz-se que uma transformação linear P: V V é uma projecção se P^2=P circ P=P.
a) Seja P: V V uma projecção. Mostre que a transformação linear tildeP=I-P definida por tildeP(v)=v-P(v) é uma projecção.
b) Seja W=(x, 0) in R^2 subset R^2, e seja lang<=(x1, x2),(y1, y2)rang<==x1 y1+x2 y2 o produto interno usual. Mostre que existe uma projecção P: R^2 R^2 tal que a imagem de P é W mas P não é a projecção ortogonal de R^2 sobre W.

Passo 1

O enunciado trabalha com projeções em espaços vetoriais. Uma transformação linear P:Vto V é chamada de projecção se
P^2=Pcirc P=P
Na parte (a) devemos mostrar que tilde P=I-P, definida por tilde P(v)=v-P(v), também satisfaz tilde P^2=tilde P.
Na parte (b) temos W=(x,0)mid xin Rsubset R^2 com o produto interno usual, e queremos exibir uma projecção P: R^2to R^2 tal que Im P=W mas que não seja a projecção ortogonal.

Passo 2

Verificamos primeiro que tilde P é linear, pois é combinação linear de transformações lineares:
tilde P=I-P. Como I e P são lineares, tilde P é linear.

Passo 3

Para ver que tilde P é projecção, computamos
tilde P^2=(I-P)circ(I-P)=Icirc I - Icirc P - Pcirc I + Pcirc P = I -P -P +P^2
Como P^2=P, isso dá
tilde P^2=I -2P +P = I -P = tilde P
Assim tilde P satisfaz tilde P^2=tilde P.

Passo 4

Agora escolhemos uma projecção não ortogonal sobre W. Definimos
P(x,y) = (,x+y,,,0,),
para todo (x,y)in R^2. É claro que P é linear, pois cada componente é combinação linear de x e y.

Passo 5

Verificamos que P é idempotente:
Pl(P(x,y)r) = Pl(x+y,,0r) = l((x+y)+0,,0r) = (,x+y,0) = P(x,y),
logo P^2=P, isto é, P é projecção.

Passo 6

Mostramos que Im P=W. Se (u,0)in W, então
P(u,0) = (,u+0,0) = (u,0),
logo todo vetor de W está na imagem. E claramente todo vetor da forma P(x,y) tem segunda coordenada zero, então Im P=W.

Passo 7

Por fim, P não é a projecção ortogonal, pois para isso precisaríamos que v-P(v) fosse ortogonal a todo vetor de W. Escolhendo v=(0,1), temos
P(v) = P(0,1) = (1,0),
então
v - P(v) = (0,1)-(1,0)=(-1,1)
Mas lang<=(-1,1),(1,0)rang<= = -1neq 0, de modo que v-P(v) não é ortogonal a (1,0)in W. Logo P não é a projeção ortogonal.

Resposta

a) tilde P=I-P é projecção porque tilde P^2=(I-P)^2=I-P=tilde P.
b) Um exemplo é
P(x,y)=(x+y,0),
que satisfaz P^2=P, Im P=W, mas não é ortogonal.

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