P 11.13. Seja
um espaço linear. Diz-se que uma transformação linear
é uma projecção se
.
a) Seja
uma projecção. Mostre que a transformação linear
definida por
é uma projecção.
b) Seja
, e seja
o produto interno usual. Mostre que existe uma projecção
tal que a imagem de
é
mas
não é a projecção ortogonal de
sobre
.
a) Seja
b) Seja
Passo 1
O enunciado trabalha com projeções em espaços vetoriais. Uma transformação linear
é chamada de projecção se
Na parte (a) devemos mostrar que
, definida por
, também satisfaz
.
Na parte (b) temos com o produto interno usual, e queremos exibir uma projecção
tal que
mas que não seja a projecção ortogonal.
Na parte (b) temos
Passo 2
Verificamos primeiro que
é linear, pois é combinação linear de transformações lineares:
. Como
e
são lineares,
é linear.
Passo 3
Para ver que
é projecção, computamos
Como
, isso dá
Assim
satisfaz
.
Passo 4
Agora escolhemos uma projecção não ortogonal sobre
. Definimos
para todo
. É claro que
é linear, pois cada componente é combinação linear de
e
.
Passo 5
Verificamos que
é idempotente:
logo
, isto é,
é projecção.
Passo 6
Mostramos que
. Se
, então
logo todo vetor de
está na imagem. E claramente todo vetor da forma
tem segunda coordenada zero, então
.
Passo 7
Por fim,
não é a projecção ortogonal, pois para isso precisaríamos que
fosse ortogonal a todo vetor de
. Escolhendo
, temos
então
Mas
, de modo que
não é ortogonal a
. Logo
não é a projeção ortogonal.
Resposta
a)
é projecção porque
.
b) Um exemplo é
b) Um exemplo é
que satisfaz
,
, mas não é ortogonal.