Seja V=P2(t) o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a dois e T=dd t: P2(t) longrightarrow P2(t) dada pela derivada. Seja B=1, t, t^2, então sabemos que [dd t]B=(ccc0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0). Então veja que se p(t)=c+b t+a t^2 in V, temos que
[dd t]B(c c b a)=(ccc0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0)(cc b a)=(cb 2 a 0)
Que é exatamente dd t(c+b t+a t^2)=b+2 t+0 t^2.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos o espaço vetorial V = P2(t) dos polinômios de grau <=2 e o operador linear
T = ddtcolon P2(t)to P2(t),
e a base B = 1, t, t^2. Queremos encontrar a matriz de T em relação a B e verificar sua ação num polinômio genérico.

Passo 2

Calcular T nos vetores da base
Aplicamos T a cada elemento de B e expressamos o resultado nas coordenadas da própria base:
1. T(1)=ddt(1)=0, cuja coordenada em B é l(0,0,0r)^T.
2. T(t)=ddt(t)=1, cuja coordenada em B é l(1,0,0r)^T.
3. T(t^2)=ddt(t^2)=2t, cuja coordenada em B é l(0,2,0r)^T.

Passo 3

Formar a matriz de T
As colunas da matriz l[Tr]B são justamente as coordenadas encontradas em cada aplicação:
l[Tr]B = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0

Passo 4

Verificar a ação em um polinômio genérico
Seja . Em coordenadas na base ,
Então
que corresponde ao polinômio

Resposta

A matriz de T=ddt em B=1,t,t^2 é
l[Tr]B = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0 ,
e sua aplicação em l(c,b,ar)^T produz l(b,2a,0r)^T, exatamente o vetor de coeficientes da derivada.

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