Corollary 1.2.5 Sejam f, g: X \subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x_{0} \in X^{\prime} e \alpha \in \mathbb{R}. Suponhamos que existam os limites
\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=L, \quad \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=M
Então existem os limites, quando x se aproxima de x_{0}, das seguintes funções
f+g, e \lim _{x \rightarrow x_{0}}(f+g)(x)=L+M

Passo 1

O enunciado é o Corolário que diz: se f e g são funções definidas em X\subset\mathbb{R}, x_{0} é ponto de acumulação de X e
\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L, \quad \lim_{x\to x_{0}}g(x)=M,
então existe o limite da soma e vale
\lim_{x\to x_{0}}(f+g)(x)=L+M.
Aqui vamos usar a definição de limite (ε-δ) e a desigualdade triangular.

Passo 2

Seja arbitrário \epsilon>0. Como \lim_{x\to x_{0}}f(x)=L, pela definição de limite existe \delta_{1}>0 tal que, para todo x\in X com 0<|x-x_{0}|<\delta_{1}, vale
|f(x)-L|<\frac{\epsilon}{2}.
De forma análoga, como \lim_{x\to x_{0}}g(x)=M, existe \delta_{2}>0 tal que, para todo x\in X com 0<|x-x_{0}|<\delta_{2}, vale
|g(x)-M|<\frac{\epsilon}{2}.

Passo 3

Definimos
\delta = \min\{\delta_{1},\delta_{2}\}.
Assim, sempre que x\in X satisfazendo 0<|x-x_{0}|<\delta, garantimos simultaneamente
|f(x)-L|<\frac{\epsilon}{2} \quad\text{e}\quad |g(x)-M|<\frac{\epsilon}{2}.

Passo 4

Para esses x, aplicamos a desigualdade triangular a
|(f+g)(x)-(L+M)| = |f(x)-L + g(x)-M| \le |f(x)-L| + |g(x)-M| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon.
Isso mostra, pela definição de limite, que
\lim_{x\to x_{0}}(f+g)(x)=L+M.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to x_{0}}(f+g)(x)=L+M.

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