Corollary 1.2.5 Sejam
e
. Suponhamos que existam os limites
Então existem os limites, quando
se aproxima de
, das seguintes funções
Passo 1
O enunciado é o Corolário que diz: se
e
são funções definidas em
,
é ponto de acumulação de
e
então existe o limite da soma e vale
Aqui vamos usar a definição de limite (ε-δ) e a desigualdade triangular.
Passo 2
Seja arbitrário
. Como
, pela definição de limite existe
tal que, para todo
com
, vale
De forma análoga, como
, existe
tal que, para todo
com
, vale
Passo 3
Definimos
Assim, sempre que
satisfazendo
, garantimos simultaneamente
Passo 4
Para esses
, aplicamos a desigualdade triangular a
Isso mostra, pela definição de limite, que