Resolva as integrais indefinidas de funções trigonométricas dadas abaixo:
\int \cos ^{5}(x) \operatorname{sen}^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \cos^{5}(x)\,\sin^{2}(x)\,dx.
Isso envolve uma potência ímpar de \cos(x) e uma potência de \sin(x). A estratégia é usar a identidade trigonométrica
\cos^2(x)=1-\sin^2(x)
e depois fazer a substituição u=\sin(x), de modo que du=\cos(x)\,dx.

Passo 2

Separe uma única cópia de \cos(x) para combinar com dx e escreva o resto em função de \sin(x):
\cos^{5}(x)\,\sin^{2}(x) =\cos^{4}(x)\,\sin^{2}(x)\,\cos(x) =(\cos^2(x))^2\,\sin^2(x)\,\cos(x) =(1-\sin^2(x))^2\,\sin^2(x)\,\cos(x).

Passo 3

Faça a substituição
u=\sin(x), \qquad du=\cos(x)\,dx.
A integral vira
\int (1-\sin^2(x))^2\,\sin^2(x)\,\cos(x)\,dx =\int (1-u^2)^2\,u^2\,du.

Passo 4

Expanda o polinômio e integre termo a termo:
(1-u^2)^2\,u^2 =u^2 -2u^4 +u^6,
portanto
\int (u^2 -2u^4 +u^6)\,du =\frac{u^3}{3}-\frac{2u^5}{5}+\frac{u^7}{7}+C.

Passo 5

Volte à variável x usando u=\sin(x):
\frac{u^3}{3}-\frac{2u^5}{5}+\frac{u^7}{7}+C =\frac{\sin^3(x)}{3}-\frac{2\sin^5(x)}{5}+\frac{\sin^7(x)}{7}+C.

Resposta

\int \cos^{5}(x)\,\sin^{2}(x)\,dx =\frac{\sin^3(x)}{3}-\frac{2\sin^5(x)}{5}+\frac{\sin^7(x)}{7}+C.

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